तीन सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{OR}}\) जिनमें से प्रत्येक का परिमाण \(A\) है, चित्र में दर्शाए अनुसार कार्य कर रहे हैं। तीनों सदिशों का परिणामी \(A \sqrt{x}\) है। \(x\) का मान _______ है।

स्पष्टीकरण:
1. सदिशों के घटक: दिए गए चित्र के अनुसार, हम तीनों सदिशों को उनके क्षैतिज (\( \hat{i} \)) और ऊर्ध्वाधर (\( \hat{j} \)) घटकों के रूप में लिख सकते हैं:
• \( \vec{\text{OP}} \) धनात्मक x-अक्ष के अनुदिश है: \( \vec{\text{OP}} = A\hat{i} \)
• \( \vec{\text{OQ}} \) धनात्मक y-अक्ष के अनुदिश है: \( \vec{\text{OQ}} = A\hat{j} \)
• \( \vec{\text{OR}} \) धनात्मक x-अक्ष से \( 45^\circ \) नीचे (चतुर्थ चतुर्थांश में) कार्यरत है: \( \vec{\text{OR}} = A\cos 45^\circ\hat{i} - A\sin 45^\circ\hat{j} = \frac{A}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{A}{\sqrt{2}}\hat{j} \)

2. परिणामी सदिश (\( \vec{R} \)) ज्ञात करना:
तीनों सदिशों का योग करने पर:
\( \vec{R} = \vec{\text{OP}} + \vec{\text{OQ}} + \vec{\text{OR}} \)
\( \vec{R} = (A\hat{i}) + (A\hat{j}) + \left(\frac{A}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{A}{\sqrt{2}}\hat{j}\right) \)
\( \vec{R} = \left(A + \frac{A}{\sqrt{2}}\right)\hat{i} + \left(A - \frac{A}{\sqrt{2}}\right)\hat{j} \)

3. परिणामी सदिश का परिमाण (\( |\vec{R}| \)):
\( |\vec{R}| = \sqrt{\left(A + \frac{A}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(A - \frac{A}{\sqrt{2}}\right)^2} \)
\( |\vec{R}| = \sqrt{\left(A^2 + \sqrt{2}A^2 + \frac{A^2}{2}\right) + \left(A^2 - \sqrt{2}A^2 + \frac{A^2}{2}\right)} \)
\( |\vec{R}| = \sqrt{2A^2 + A^2} = \sqrt{3A^2} = A\sqrt{3} \)

दिए गए परिणामी परिमाण \( A\sqrt{x} \) से तुलना करने पर:
\( A\sqrt{x} = A\sqrt{3} \implies x = 3 \)

अतः, विकल्प D सही विकल्प है।