ત્રણ સદિશો \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{OR}}\) પ્રત્યેકનું માન \(A\) છે, જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કાર્યરત છે. આ ત્રણ સદિશોનું પરિણામ \(A \sqrt{x}\) છે. \(x\) નું મૂલ્ય _______ છે.

પ્રશ્ન:
1. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે \( A \) મૂલ્ય ધરાવતા ત્રણ સદિશો \( \vec{\text{OP}} \), \( \vec{\text{OQ}} \) અને \( \vec{\text{OR}} \) કાર્યરત છે. આ ત્રણેય સદિશોનું પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય \( A\sqrt{x} \) છે. તો \( x \) ની કિંમત ______ છે.
A) 5
B) 4
C) 2
D) 3

ઉકેલ : ( D )

સ્પષ્ટીકરણ:
1. સદિશોના ઘટકો: આકૃતિમાં દર્શાવેલ યામ પદ્ધતિના આધારે, દરેક સદિશને તેના સમક્ષિતિજ (\( \hat{i} \)) અને લંબ (\( \hat{j} \)) ઘટકોમાં નીચે મુજબ વિભાજીત કરી શકાય:
• \( \vec{\text{OP}} \) ધન x-અક્ષની દિશામાં છે: \( \vec{\text{OP}} = A\hat{i} \)
• \( \vec{\text{OQ}} \) ધન y-અક્ષની દિશામાં છે: \( \vec{\text{OQ}} = A\hat{j} \)
• \( \vec{\text{OR}} \) ધન x-અક્ષ સાથે નીચેની તરફ \( 45^\circ \) ના ખૂણે (ચોથા ચરણમાં) છે: \( \vec{\text{OR}} = A\cos 45^\circ\hat{i} - A\sin 45^\circ\hat{j} = \frac{A}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{A}{\sqrt{2}}\hat{j} \)

2. પરિણામી સદિશ (\( \vec{R} \)) મેળવવો:
ત્રણેય સદિશોનો સરવાળો કરતાં:
\( \vec{R} = \vec{\text{OP}} + \vec{\text{OQ}} + \vec{\text{OR}} \)
\( \vec{R} = (A\hat{i}) + (A\hat{j}) + \left(\frac{A}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{A}{\sqrt{2}}\hat{j}\right) \)
\( \vec{R} = \left(A + \frac{A}{\sqrt{2}}\right)\hat{i} + \left(A - \frac{A}{\sqrt{2}}\right)\hat{j} \)

3. પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય (\( |\vec{R}| \)) શોધવું:
\( |\vec{R}| = \sqrt{\left(A + \frac{A}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(A - \frac{A}{\sqrt{2}}\right)^2} \)
\( |\vec{R}| = \sqrt{\left(A^2 + \sqrt{2}A^2 + \frac{A^2}{2}\right) + \left(A^2 - \sqrt{2}A^2 + \frac{A^2}{2}\right)} \)
\( |\vec{R}| = \sqrt{2A^2 + A^2} = \sqrt{3A^2} = A\sqrt{3} \)

આપેલ પરિણામી મૂલ્ય \( A\sqrt{x} \) સાથે સરખાવતા:
\( A\sqrt{x} = A\sqrt{3} \implies x = 3 \)

આથી, વિકલ્પ D સાચો જવાબ છે.