एक स्क्रू गेज जिसका अल्पतमांक \(0.001\) cm है, द्वारा मापे गए तार का व्यास \(0.08\) cm है। एक पैमाने द्वारा मापी गई लंबाई जिसका अल्पतमांक \(0.1\) cm है, \(150\) cm है। जब तार पर \(100\) N का भार लगाया जाता है, तो लंबाई में वृद्धि \(0.5\) cm है, जिसे एक माइक्रोमीटर द्वारा मापा गया है जिसका अल्पतमांक \(0.001\) cm है। मापे गए यंग मापांक में त्रुटि \(\alpha \times 10^9\) N/m\(^2\) है। \(\alpha\) का मान _______ है।
(यंग मापांक की त्रुटि गणना में भार के योगदान की उपेक्षा करें)

यंग मापांक का सूत्र निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(Y = \dfrac{F L_0}{A \Delta L} = \dfrac{4 F L_0}{\pi d^2 \Delta L}\)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(Y = \dfrac{4 \times 100 \times 1.5}{\pi \times (0.08 \times 10^{-2})^2 \times (0.5 \times 10^{-2})}\)

\(Y = \dfrac{600}{\pi \times 64 \times 10^{-8} \times 5 \times 10^{-3}} = \dfrac{15}{8\pi} \times 10^{11} \text{ N/m}^2\)

यंग मापांक में सापेक्ष त्रुटि है:

\(\dfrac{\Delta Y}{Y} = \dfrac{\Delta L_0}{L_0} + 2\dfrac{\Delta d}{d} + \dfrac{\Delta (\Delta L)}{\Delta L}\)

अल्पतमांकों को निरपेक्ष त्रुटियों के रूप में और मापे गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(\dfrac{\Delta Y}{Y} = \dfrac{0.1}{150} + 2 \times \dfrac{0.001}{0.08} + \dfrac{0.001}{0.5}\)

\(\dfrac{\Delta Y}{Y} = \dfrac{1}{1500} + \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{500}\)

\(\dfrac{\Delta Y}{Y} = \dfrac{2 + 75 + 6}{3000} = \dfrac{83}{3000}\)

यंग मापांक में निरपेक्ष त्रुटि है:

\(\Delta Y = Y \times \dfrac{\Delta Y}{Y} = \left(\dfrac{15}{8\pi} \times 10^{11}\right) \times \dfrac{83}{3000}\)

\(\Delta Y = \dfrac{15 \times 83}{24000 \pi} \times 10^{11} = \dfrac{83}{1600 \pi} \times 10^{11} = \dfrac{83}{16\pi} \times 10^9 \text{ N/m}^2\)

\(\pi \approx 3.14\) का प्रयोग करने पर:

\(\Delta Y = \dfrac{83}{16 \times 3.14} \times 10^9 = \dfrac{83}{50.24} \times 10^9 \approx 1.65 \times 10^9 \text{ N/m}^2\)

इसकी तुलना \(\alpha \times 10^9 \text{ N/m}^2\) से करने पर, हमें \(\alpha = 1.65\) प्राप्त होता है।

उत्तर: \(1.65\)