\(0.001\) cm અલ્પતમાર્ક ધરાવતા સ્ક્રુગેજ વડે માપવામાં આવેલ તારનો વ્યાસ \(0.08\) cm છે. \(0.1\) cm અલ્પતમાર્ક ધરાવતા સ્કેલ વડે માપેલી લંબાઈ \(150\) cm છે. જ્યારે તાર પર \(100\) N વજન લગાડવામાં આવે છે, ત્યારે લંબાઈમાં થતો વધારો \(0.5\) cm છે, જે \(0.001\) cm અલ્પતમાર્ક ધરાવતા માઇક્રોમીટર વડે માપવામાં આવે છે. માપેલ યંગ મોડ્યુલસમાં ત્રુટિ \(\alpha \times 10^9\) N/m\(^2\) છે. \(\alpha\) નું મૂલ્ય _______ છે.
(યંગ મોડ્યુલસની ત્રુટિ ગણતરીમાં ભારના યોગદાનને અવગણો)

યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર નીચે મુજબ આપેલ છે:

\(Y = \dfrac{F L_0}{A \Delta L} = \dfrac{4 F L_0}{\pi d^2 \Delta L}\)

આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:

\(Y = \dfrac{4 \times 100 \times 1.5}{\pi \times (0.08 \times 10^{-2})^2 \times (0.5 \times 10^{-2})}\)

\(Y = \dfrac{600}{\pi \times 64 \times 10^{-8} \times 5 \times 10^{-3}} = \dfrac{15}{8\pi} \times 10^{11} \text{ N/m}^2\)

યંગ મોડ્યુલસમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ:

\(\dfrac{\Delta Y}{Y} = \dfrac{\Delta L_0}{L_0} + 2\dfrac{\Delta d}{d} + \dfrac{\Delta (\Delta L)}{\Delta L}\)

અલ્પતમાર્કને નિરપેક્ષ ત્રુટિ તરીકે અને માપેલ મૂલ્યોને મુકતા:

\(\dfrac{\Delta Y}{Y} = \dfrac{0.1}{150} + 2 \times \dfrac{0.001}{0.08} + \dfrac{0.001}{0.5}\)

\(\dfrac{\Delta Y}{Y} = \dfrac{1}{1500} + \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{500}\)

\(\dfrac{\Delta Y}{Y} = \dfrac{2 + 75 + 6}{3000} = \dfrac{83}{3000}\)

યંગ મોડ્યુલસમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ:

\(\Delta Y = Y \times \dfrac{\Delta Y}{Y} = \left(\dfrac{15}{8\pi} \times 10^{11}\right) \times \dfrac{83}{3000}\)

\(\Delta Y = \dfrac{15 \times 83}{24000 \pi} \times 10^{11} = \dfrac{83}{1600 \pi} \times 10^{11} = \dfrac{83}{16\pi} \times 10^9 \text{ N/m}^2\)

\(\pi \approx 3.14\) નો ઉપયોગ કરતા:

\(\Delta Y = \dfrac{83}{16 \times 3.14} \times 10^9 = \dfrac{83}{50.24} \times 10^9 \approx 1.65 \times 10^9 \text{ N/m}^2\)

તેની \(\alpha \times 10^9 \text{ N/m}^2\) સાથે સરખામણી કરતા, આપણને \(\alpha = 1.65\) મળે છે.

જવાબ: \(1.65\)