द्रव्यमान M और लंबाई L की एक पतली एकसमान छड़ \(( X )\) चित्र में दिखाए अनुसार \(\left(\frac{ L }{3}\right)\) की ऊँचाई पर कीलित है। छड़ को ऊर्ध्वाधर स्थिति से गिरने और मेज पर क्षैतिज रूप से लेटने दिया जाता है। मेज की सतह से टकराते समय इस छड़ का कोणीय वेग _________ है। (g = गुरुत्वीय त्वरण)

A \(\sqrt{\frac{3}{2} \frac{g}{ L }}\)
B \(\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{L}}\)
C \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{L}}\)
D \(\sqrt{\frac{3g}{L}}\)

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(D) \(\sqrt{\frac{3g}{L}}\)

Step-by-step Solution

Detailed explanation

\(mg \frac{\ell}{6}=\frac{1}{2} I \omega^2\) यहाँ \(I=\frac{m \ell^2}{12}+\frac{m \ell^2}{36}=\frac{m \ell^2}{9}\) \(mg \frac{\ell}{6}=\frac{ m \ell^2}{18} \omega^2 \Rightarrow \omega^2=\frac{3 g}{\ell}\) \(\omega=\sqrt{\frac{3 g}{\ell}}\)

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

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