એક પાતળો સમાન સળિયો \(( X )\) જેનું દળ M અને લંબાઈ L છે, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ \(\left(\frac{ L }{3}\right)\) ઊંચાઈએ મિજાગરાથી ટેકવેલો છે. સળિયાને ઊર્ધ્વ સ્થિતિમાંથી પડવા દેવામાં આવે છે અને તે ટેબલ પર સમક્ષિતિજ રીતે પડે છે. જ્યારે તે ટેબલની સપાટી પર અથડાય છે, ત્યારે આ સળિયાનો કોણીય વેગ __________ છે. (g = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ)

સ્પષ્ટીકરણ:
જ્યારે સળિયો મેજની સપાટી સાથે અથડાય ત્યારે તેનો સાચો કોણીય વેગ મેળવવા માટે યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમની તબક્કાવાર ગણતરી નીચે મુજબ છે:

1. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (Center of Mass) નું સ્થાન નક્કી કરવું:
L લંબાઈના એકસમાન પાતળા સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે, જે કોઈપણ છેડેથી \( \frac{L}{2} \) અંતરે આવેલું હોય છે.
આકૃતિ મુજબ, કીલકિત કરેલું બિંદુ (pivot) નીચેના છેડાથી \( \frac{L}{3} \) અંતરે છે. તેથી કીલકિત બિંદુ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર (\( d \)) નીચે મુજબ થશે:
\( d = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6} \)

2. કીલકિત અક્ષને સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા (\( I \)) ની ગણતરી:
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં (\( I = I_{\text{cm}} + Md^2 \)):
\( I = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{6}\right)^2 \)
\( I = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{36}ML^2 = \frac{3 + 1}{36}ML^2 = \frac{4}{36}ML^2 = \frac{1}{9}ML^2 \)

3. સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો (\( \Delta \text{PE} \)) શોધવો:
- શરૂઆતની શિરોલંબ સ્થિતિમાં, સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કીલકિત બિંદુથી (મેજની સપાટીથી) બરાબર \( \frac{L}{6} \) જેટલી ઊંચાઈએ ઉપર તરફ આવેલું હોય છે.
- અંતિમ સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં, આખો સળિયો મેજ પર સપાટ ગોઠવાઈ જતો હોવાથી તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કીલકિત બિંદુના સમાન સ્તર પર આવી જાય છે.
આથી, દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું ચોખ્ખું શિરોલંબ સ્થાનાંતર \( \Delta h = \frac{L}{6} \) થાય છે, જેથી સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો:
\( \Delta \text{PE} = Mg\Delta h = Mg\left(\frac{L}{6}\right) \)

4. ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરતાં:
સ્થિતિઊર્જામાં થતો આ ઘટાડો સંપૂર્ણપણે ચાકગતિ ઊર્જામાં (\( \frac{1}{2}I\omega^2 \)) રૂપાંતરિત થાય છે:
\( \frac{1}{2}I\omega^2 = \Delta \text{PE} \)
\( \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}ML^2\right)\omega^2 = Mg\left(\frac{L}{6}\right) \)
\( \frac{1}{18}ML^2\omega^2 = \frac{1}{6}MgL \)

હવે સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપીને કોણીય વેગ (\( \omega \)) નું મૂલ્ય મેળવતાં:
\( \omega^2 = \frac{18}{6}\frac{g}{L} = \frac{3g}{L} \)
\( \omega = \sqrt{\frac{3g}{L}} \)

આમ, સૈદ્ધાંતિક અને ગાણિતિક ગણતરી પરથી સ્પષ્ટ સાબિત થાય છે કે આપેલી ઉત્તરવહીનો જવાબ બિલકુલ સાચો છે.

આથી, સાચો જવાબ વિકલ્પ D છે.