चित्रानुसार समबाहु त्रिभुज की आकृति वाले एक पटल \(ABC\) का एक अक्ष, जो बिन्दु \(O\) से जाती है तथा पटल के अभिलम्बवत् है, के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण \(I_{o}\) है। इस पटल में से एक त्रिभुज \(DEF\) के आकार का एक छेद किया जाता है। यहाँ \(D , E\) व \(F\) भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं। इस बचे हुए पटल का उसी अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण होगा

\(M\) द्रव्यमान का एक गुटका, किसी खुरदरे आनत तल पर नियत वेग से नीचे की तरफ फिसल रहा है। आनत तल क्षैतिज के साथ \(\theta\) कोण बना रहा है। सम्पर्क बल \((Contact\,Force)\) के परिमाण का मान होगा :

सरल आवर्त गति करते हुए एक कण का समय पर निर्भर विस्थापन सम्बन्ध \(x ( t )= A \sin \frac{\pi t }{90}\) से दिया गया है। \(t =210\, s\) पर इस कण की गतिज एवं स्थितिज ऊर्जाओं का अनुपात होगा।

एक प्रिज्म जिसका अपवर्तनांक \(n _{1}\) है, को दूसरे प्रिज्म जिसका अपवर्तनांक \(n _{2}\) है के साथ जोड़ा गया है (जैसा की चित्र में दिखाया गया है) \(n _{1}\) और \(n _{2}\) का मान, प्रकाश की तरंगदैर्ध्य \(\lambda\), के मान पर नीचे दिए अनुसार निर्भर करता है। \(n _{1}=1.2+\frac{10.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}}\) और \(n _{2}=1.45+\frac{1.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}}\) वह तरंगदैर्ध्य जिसके लिए अन्तरापष्ठ \(BC\) पर किसी कोण पर आपतित किरणे अन्तरापष्ठ \(BC\) पर बिना झुके गुजरेगी \(.........\,nm\) होगी।

जहाज \(A\) वेग \(\overrightarrow{ v }=30 \hat{ i }+50 \hat{ j } \,km / hr\) से उत्तर-पूर्व दिशा में जलयात्रा कर रहा है जहाँ \(\hat{i}\) पूर्व तथा \(\hat{j}\) उत्तर की ओर इंगित है। जहाज \(B\), जहाज \(A\) से \(80\, km\) पूर्व की ओर \(150 km\) उत्तर की ओर, दूरी पर स्थित है और पश्चिम की ओर \(10 \,km / hr\) की चाल से जलयात्रा कर रहा है। \(A\) से \(B\) की दूरी न्यूनतम \(......\,hrs\) होगी ।

एक उत्तेजित \(He ^{+}\)आयन, अपनी न्यूनतम ऊर्जा अवस्था में संक्रमण होने तक दो क्रमागत फोटॉन, जिनके तरंगदैर्ध्य \(108.5 \,nm\) तथा \(30.4\, nm\) है। उत्सर्जित करता है। प्रारंभिक उत्तेजित अवस्था के संगत क्वॉन्टम संख्या \(n=......\) है। \((\lambda\) तंरगदैर्ध्य के लिये फोटॉन की ऊर्जा \(E =\frac{1240\, eV }{\lambda(\text { in } nm )}) \text { : }\)

 दिए गए परिपथ में \(V _{ L }\) तथा \(V _{ C }\) का परिमाण \(V _{ R }\) से दुगुना हो तो \(f =50\,Hz\) के संगत कुण्डली का प्ररकत्व \(\frac{1}{ K \pi} mH\) है, तो \(K\) का मान ज्ञात कीजिये।

एक परीक्षण कण द्रव्यमान घनत्व \(\rho( r )=\frac{ K }{ r ^{2}}\) से उत्पन्न गुरूत्वीय क्षेत्र में एक वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। कण के कक्ष की त्रिज्या \(R\) तथा इसके आवर्तकाल \(T\) के बीच सही सम्बन्ध होगा।

तीन कण \(P , Q\) और \(R\) क्रमशः सदिशों \(\overrightarrow{ A }=\hat{ i }+\hat{ j }, \overrightarrow{ B }=\hat{ j }+\hat{ k }\) और \(\overrightarrow{ C }=-\hat{ i }+\hat{ j }\) के अनुदिश गमन कर रहे है। ये किसी बिन्दु पर टकराते है और विभिन्न दिशाओं में गमन करना आरम्भ कर देते है। कण \(P\) उस तल के अभिलम्बवत भी गमन करता है जिसमें सदिश \(\overrightarrow{ A }\) और \(\overrightarrow{ B }\) है। इसी प्रकार कण \(Q\) उस तल के अभिलम्बवत गति कर रहा है जिसमें सदिश \(\overrightarrow{ A }\) और \(\overrightarrow{ C }\) है। \(P\) और \(Q\) की गति की दिशाओं के बीच कोण \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\) है। तो \(x\) का मान \(\dots\) है

\(100 kg\) द्रव्यमान के तीन एक समान कण \(A , B\) एवं \(C\), इस प्रकार एक सरल रेखा में रखे हैं कि \(AB = BC =13 m\) है। समान द्रव्यमान के किसी चौथे कण \(P\) पर गुरूत्वीय बल का मान \(F\) ह। रेखा \(AC\) के लम्ब समद्विभाजक पर, कण \(B\) से \(13 m\) की दूरी पर \(P\) रखा हुआ है। \(F\) का सन्निकट मान \(..........\,G\) होगा :

नीचे दो कथन दिए गए हैं : कथन \(I\) : जब द्रव का वेग प्रत्येक स्थान पर शून्य होता है, तो किन्हीं दो बिन्दुओं पर दाब अंतर समीकरण \(\mathrm{P}_1-\mathrm{P}_2=\rho \mathrm{g}\left(\mathrm{h}_2-\mathrm{h}_1\right)\) से दिया जाता है। कथन \(II\) : दर्शायी गई वेंचुरी नली में \(2 \mathrm{gh}=v_1^2-v_2^2\) होता है। उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें।

धातु के एक घनाकार टुकड़े पर \(4\, GPa\) का द्रवस्थैतिक (hydrostatic) दाब लगाया जाता है। घन की कोर की लम्बाई में प्रतिशत बदलाव (percentage change) का सन्निकट मान .......\(\%\) होगा। (दिया है : धातु का आयतन प्रत्यास्थता गुणांक, \(B=8 \times 10^{10} \,Pa)\)

यदि किसी दिए गए तापमान और दाब पर हाइड्रोजन अणु का वर्ग माध्य मूल वेग \(2 \mathrm{~km} / \mathrm{s}\) है, तो समान परिस्थितियों में ऑक्सीजन का वर्ग माध्य मूल वेग \(\mathrm{km} / \mathrm{s}\) में _______ होगा।