एक पतला उभयोत्तल लेंस काँच (\(\mu=1.5\)) से बनाया गया है, जिसकी दोनों वक्रित सतहों की वक्रता त्रिज्याएँ प्रत्येक \(20\) cm हैं। लेंस की बाईं ओर की सतह को बाहर से परावर्तक बनाने के लिए रजतित किया गया है। प्रतिबिंब और वस्तु की स्थिति एक ही स्थान पर प्राप्त करने के लिए, वस्तु को लेंस से ________ cm की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

जब किसी लेंस की एक सतह को रजतित किया जाता है, तो यह निकाय एक तुल्य दर्पण की भाँति व्यवहार करता है। प्रकाश लेंस से अपवर्तित होता है, रजतित सतह से परावर्तित होता है, और फिर से लेंस से अपवर्तित होता है, इसलिए तुल्य क्षमता है:
\(P_{eq} = P_L + P_M + P_L = 2P_L + P_M\)

उभयोत्तल लेंस की क्षमता:
\(R_1 = +20\text{ cm}\), \(R_2 = -20\text{ cm}\) और \(\mu = 1.5\) वाले एक पतले उभयोत्तल लेंस के लिए, लेंस निर्माता सूत्र देता है:
\(\dfrac{1}{f_L} = (\mu - 1)\left(\dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{R_2}\right)\)

\(\dfrac{1}{f_L} = (1.5 - 1)\left(\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{-20}\right) = 0.5 \cdot \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{20}\text{ cm}^{-1}\)

अतः, \(P_L = \dfrac{1}{20}\text{ cm}^{-1}\) है।

रजतित सतह की क्षमता (जो अवतल दर्पण की भाँति कार्य करती है):
पिछली सतह की वक्रता त्रिज्या \(R = 20\text{ cm}\) है, इसलिए इसकी फोकस दूरी है:
\(f_M = \dfrac{R}{2} = 10\text{ cm}\)

\(P_M = \dfrac{1}{f_M} = \dfrac{1}{10}\text{ cm}^{-1}\)

तुल्य फोकस दूरी:
\(P_{eq} = 2P_L + P_M = 2 \cdot \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{5}\text{ cm}^{-1}\)

\(F_{eq} = \dfrac{1}{P_{eq}} = 5\text{ cm}\)

क्योंकि \(P_{eq} > 0\) है, निकाय \(5\text{ cm}\) फोकस दूरी वाले एक अभिसारी (अवतल) तुल्य दर्पण की भाँति व्यवहार करता है।

वस्तु और प्रतिबिंब के संपाती होने के लिए वस्तु की स्थिति:
एक अवतल दर्पण के लिए, प्रतिबिंब वस्तु के साथ संपाती होता है जब वस्तु को वक्रता केंद्र पर, अर्थात दर्पण से \(2F_{eq}\) की दूरी पर रखा जाता है।
\(u = 2F_{eq} = 2 \times 5 = 10\text{ cm}\)

अतः, सही विकल्प \((1)\ 10\) है।