एक प्रकाश किरण एक सदिश \(\vec{AO}\) \((\vec{AO} = 2\hat{i}-3\hat{j})\) के अनुदिश आपतित होती है और जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, एक सदिश \(\vec{OB}\) \((\vec{OB} = C\hat{i}-4\hat{j})\) के अनुदिश निर्गत होती है। \(C\) का मान ________ है।

दिए गए चित्र से, अंतरापृष्ठ क्षैतिज है और अभिलंब y-अक्ष के अनुदिश है।

आपतित किरण सदिश \(\vec{AO} = 2\hat{i} - 3\hat{j}\) के अनुदिश है।
आपतन कोण \(\alpha\) आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है।
\(\sin \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}\)

अपवर्तित किरण सदिश \(\vec{OB} = C\hat{i} - 4\hat{j}\) के अनुदिश है।
अपवर्तन कोण \(\beta\) अपवर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है।
\(\sin \beta = \dfrac{C}{\sqrt{C^2 + (-4)^2}} = \dfrac{C}{\sqrt{C^2 + 16}}\)

अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
\(\mu_1 \sin \alpha = \mu_2 \sin \beta\)
\(1 \times \dfrac{2}{\sqrt{13}} = 1.5 \times \dfrac{C}{\sqrt{C^2 + 16}}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{13}} = \dfrac{3}{2} \dfrac{C}{\sqrt{C^2 + 16}}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\(\dfrac{4}{13} = \dfrac{9}{4} \left( \dfrac{C^2}{C^2 + 16} \right)\)
\(16(C^2 + 16) = 117 C^2\)
\(16 C^2 + 256 = 117 C^2\)
\(101 C^2 = 256\)
\(C^2 = \dfrac{256}{101}\)
\(C = \dfrac{16}{\sqrt{101}} \approx 1.592\)

\(\sqrt{101} \approx 10\) का सन्निकटन करने पर, हमें \(C \approx 1.6\) प्राप्त होता है।

उत्तर: \(1.6\)