एक खोखला आईसक्रीम शंकु को चित्र में दिखाया गया है। (इसका ऊपरी भाग खुला है।) यदि इसका द्रव्यमान \(M\), ऊपरी भाग की त्रिज्या \(R\), तथा ऊँचाई, \(H\) हो, तो इसकी अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है?

स्पष्टीकरण:
आइए कलनशास्त्र (calculus) का उपयोग करके एक खोखले शंकु के जड़त्व आघूर्ण की चरण-दर-चरण गणना करें, जो कक्षा 11 भौतिकी के 'कणों के निकाय तथा घूर्णी गति' अध्याय के सिद्धांतों पर आधारित है:

चरण 1: शंकु की ज्यामिति को समझना
मान लीजिए कि शंकु का शीर्ष (vertex) मूल बिंदु पर है और यह नीचे की ओर इंगित कर रहा है।
- शंकु की तिर्यक ऊंचाई, \(l = \sqrt{R^2 + H^2}\) है।
- यदि शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण \(\theta\) है, तो: \(\tan\theta = \frac{R}{H}\) और \(\cos\theta = \frac{H}{l} = \frac{H}{\sqrt{R^2 + H^2}}\) होगा।

इस खोखले शंकु का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \(A = \pi R l = \pi R \sqrt{R^2 + H^2}\) होता है।
Core पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व (\(\sigma\)) निम्न है:
\(\sigma = \frac{M}{\pi R \sqrt{R^2 + H^2}}\)

चरण 2: एक वृत्ताकार अवयव (element) का चयन करना
शीर्ष से अक्ष के अनुदिश \(h\) गहराई पर स्थित \(r\) त्रिज्या की एक सूक्ष्म वृत्ताकार वलय (ring) पर विचार करें। इस अवयव की तिर्यक चौड़ाई \(dl\) है।
ज्यामिति के अनुसार:
\(r = h \tan\theta\)
\(dl = \frac{dh}{\cos\theta}\)

इस सूक्ष्म वलय का क्षेत्रफल (\(dA\)) होगा:
\(dA = 2\pi r \cdot dl = 2\pi (h \tan\theta) \cdot \left[\frac{dh}{\cos\theta}\right]\)

चरण 3: अवयव का द्रव्यमान (\(dm\)) ज्ञात करना
अवयव के क्षेत्रफल को पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व (\(\sigma\)) से गुणा करने पर हमें अवयव का द्रव्यमान प्राप्त होता है:
\(dm = \sigma \cdot dA = \left[\frac{M}{\pi R \sqrt{R^2 + H^2}}\right] \cdot \left[2\pi h \left(\frac{\tan\theta}{\cos\theta}\right) dh\right]\)
\(dm = \left[\frac{2M \tan\theta}{R \sqrt{R^2 + H^2} \cos\theta}\right] h dh\)

चरण 4: कुल जड़त्व आघूर्ण (\(I\)) के लिए समाकलन (Integration) करना
केंद्रीय अक्ष के परितः \(r\) त्रिज्या और \(dm\) द्रव्यमान वाली एक पतली वलय का जड़त्व आघूर्ण \(dI = (dm)r^2\) होता है।
\(r = h \tan\theta\) का मान रखने पर:
\(dI = (dm)(h \tan\theta)^2 = \left[\frac{2M \tan^3\theta}{R \sqrt{R^2 + H^2} \cos\theta}\right] h^3 dh\)

शंकु की पूरी ऊंचाई के लिए \(h = 0\) से \(h = H\) की सीमाओं के बीच समाकलन करने पर:
\(I = \int_0^H \left[\frac{2M \tan^3\theta}{R \sqrt{R^2 + H^2} \cos\theta}\right] h^3 dh = \left[\frac{2M \tan^3\theta}{R \sqrt{R^2 + H^2} \cos\theta}\right] \cdot \left[\frac{H^4}{4}\right]\)

चरण 5: त्रिकोणमितीय मान रखकर समीकरण को सरल करना
अब \(\tan\theta = \frac{R}{H}\) और \(\cos\theta = \frac{H}{\sqrt{R^2 + H^2}}\) का मान इस समीकरण में वापस रखने पर:
\(I = \left[\frac{2M \left(\frac{R^3}{H^3}\right)}{R \sqrt{R^2 + H^2} \left(\frac{H}{\sqrt{R^2 + H^2}}\right)}\right] \cdot \left[\frac{H^4}{4}\right]\)
\(I = \left[\frac{2M R^3}{R H^4}\right] \cdot \left[\frac{H^4}{4}\right]\)
\(I = \left[\frac{2M R^2}{H^4}\right] \cdot \left[\frac{H^4}{4}\right] = \frac{MR^2}{2}\)

अतः विकल्प A सही उत्तर है।