एक खोखला आईसक्रीम शंकु को चित्र में दिखाया गया है। (इसका ऊपरी भाग खुला है।) यदि इसका द्रव्यमान \(M\), ऊपरी भाग की त्रिज्या \(R\), तथा ऊँचाई, \(H\) हो, तो इसकी अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है?

Area of element \(d A =2 \pi rd \ell==2 \pi r \frac{ dh }{\cos \theta}\)

mass of element \(dm =\frac{ M }{\pi R \sqrt{ H ^{2}+ R ^{2}}} \times \frac{2 \pi rdh }{\cos \theta}\)

\(dm =\frac{2 Mh \tan \theta dh }{ R \sqrt{ H ^{2}+ R ^{2}} \cos \theta} \quad\) (here \(\left. r = h \tan \theta\right)\)

\(I =\int( dm ) r ^{2}=\int \frac{ h ^{2} \tan ^{2} \theta}{\cos \theta}\left(\frac{2 m }{ R } \frac{ h \tan \theta}{\sqrt{ R ^{2}+ H ^{2}}}\right) dh\)

\(=\frac{2 M }{\cos \theta R } \frac{\tan ^{3} \theta}{\sqrt{ R ^{2}+ H ^{2}}}\)

\(\int_{0}^{ H } h ^{3} dh =\frac{ MR ^{2} H ^{4}}{2 RH ^{3} \sqrt{ R ^{2}+ H ^{2}} \cos \theta}\)

\(=\frac{ MR ^{2} H \sqrt{ R ^{2}+ H ^{2}}}{2 \sqrt{ R ^{2}+ H ^{2}} \times H }\)

\(=\frac{ MR ^{2}}{2}\)