આકૃતિમાં પોલો આઇસ્ક્રીમ કોન છે ,તેનું દળ \(M,\) ઉપરની ત્રિજ્યા \(R\) અને ઊંચાઈ \(H\) છે,તો આપેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાક્માત્રા ...... 

સ્પષ્ટીકરણ:
NCERT ધોરણ 11 ભૌતિકવિજ્ઞાન (કણોના તંત્રો અને પરિભ્રમણીય ગતિ પ્રકરણ) ના નિયમો અનુસાર કલનશાસ્ત્ર (calculus) ની મદદથી પોલા શંકુની જડત્વની ચાકમાત્રાની સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ગણતરી નીચે મુજબ છે:

સ્ટેપ 1: શંકુની ભૂમિતિ સમજવી
ધારો કે શંકુનું શિરોબિંદુ ઊગમબિંદુ પર છે.
- શંકુની ત્રાંસી ઊંચાઈ, \(l = \sqrt{R^2 + H^2}\)
- જો શંકુનો અર્ધ-શિરોકોણ \(\theta\) હોય, તો:
\(\tan\theta = \frac{R}{H}\) અને \(\cos\theta = \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}\)

આ પોલા શંકુની વક્ર સપાટીનું કુલ ક્ષેત્રફળ \(A = \pi R l = \pi R \sqrt{R^2 + H^2}\) થાય.
તેથી, શંકુની સપાટીની દળ ઘનતા (\(\sigma\)) નીચે મુજબ દર્શાવાય:
\(\sigma = \frac{M}{\pi R \sqrt{R^2 + H^2}}\)

સ્ટેપ 2: વર્તુળાકાર ખંડની પસંદગી
શિરોબિંદુથી અક્ષ પર \(h\) અંતરે આવેલી એક નાની વર્તુળાકાર રીંગ (ખંડ) ધ્યાનમાં લો જેની ત્રિજ્યા \(r\) અને ત્રાંસી પહોળાઈ \(dl\) છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી:
\(r = h \tan\theta\)
\(dl = \frac{dh}{\cos\theta}\)

આ નાની રીંગનું ક્ષેત્રફળ (\(dA\)):
\(dA = 2\pi r \cdot dl = 2\pi (h \tan\theta) \frac{dh}{\cos\theta}\)

સ્ટેપ 3: નાની રીંગનું દળ (\(dm\)) મેળવવું
\(dm = \sigma \cdot dA = \left(\frac{M}{\pi R \sqrt{R^2 + H^2}}\right) \cdot \left(2\pi h \frac{\tan\theta}{\cos\theta} dh\right)\)
\(dm = \frac{2M \tan\theta}{R \sqrt{R^2 + H^2} \cos\theta} h dh\)

સ્ટેપ 4: કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા (\(I\)) માટે સંકલન કરવું
આ રીંગની પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા \(dI = (dm)r^2\) થાય.
અહીં \(r = h \tan\theta\) મુકતા:
\(dI = (dm)(h \tan\theta)^2 = \frac{2M \tan^3\theta}{R \sqrt{R^2 + H^2} \cos\theta} h^3 dh\)

સમગ્ર શંકુ માટે \(h = 0\) થી \(h = H\) ની સીમાઓમાં સંકલન કરતા:
\(I = \int_0^H \frac{2M \tan^3\theta}{R \sqrt{R^2 + H^2} \cos\theta} h^3 dh = \frac{2M \tan^3\theta}{R \sqrt{R^2 + H^2} \cos\theta} \left[ \frac{H^4}{4} \right]\)

સ્ટેપ 5: \(\tan\theta\) અને \(\cos\theta\) ના મૂલ્યો મુકી સાદુંરૂપ આપવું
\(I = \frac{2M \left(\frac{R^3}{H^3}\right)}{R \sqrt{R^2 + H^2} \left(\frac{H}{\sqrt{R^2 + H^2}}\right)} \cdot \frac{H^4}{4}\)
\(I = \frac{2M R^2}{H^4} \cdot \frac{H^4}{4} = \frac{MR^2}{2}\)

આથી, સાચો ઉત્તર વિકલ્પ A છે.