एक ग्रह \((P_1)\) द्रव्यमान \(2M\) के तारे के चारों ओर त्रिज्या \(R\) की कक्षा में गति कर रहा है। एक अन्य ग्रह \((P_2)\) द्रव्यमान \(4M\) के एक अन्य तारे के चारों ओर त्रिज्या \(2R\) की कक्षा में गति कर रहा है। \(P_2\) और \(P_1\) के परिक्रमण कालों का अनुपात _______ है।

केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए, एक ग्रह के परिक्रमण काल को निम्न प्रकार दिया जाता है: \(T = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{GM_s}}\).

ग्रह \(P_1\) के लिए, कक्षीय त्रिज्या \(r = R\) है और तारे का द्रव्यमान \(M_s = 2M\) है:
\(T_1 = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3}{G(2M)}}\)

ग्रह \(P_2\) के लिए, कक्षीय त्रिज्या \(r = 2R\) है और तारे का द्रव्यमान \(M_s = 4M\) है:
\(T_2 = 2\pi \sqrt{\dfrac{(2R)^3}{G(4M)}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{8R^3}{4GM}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{2R^3}{GM}}\)

\(T_2\) और \(T_1\) का अनुपात लेने पर:
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{2R^3}{GM}}}{\sqrt{\dfrac{R^3}{2GM}}} = \sqrt{2 \times 2} = 2\)

उत्तर: \(2\)