એક ગ્રહ \((P_1)\) દળ \(2M\) ના તારાની \(R\) ત્રિજ્યાની કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે. બીજો ગ્રહ \((P_2)\) દળ \(4M\) ના બીજા તારાની \(2R\) ત્રિજ્યાની કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે. \(P_2\) અને \(P_1\) ના પરિક્રમણ કાળનો ગુણોત્તર _______ છે.

કેપ્લરના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, કોઈ ગ્રહના પરિક્રમણ કાળ \(T = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{GM_s}}\) દ્વારા અપાય છે.

ગ્રહ \(P_1\) માટે, કક્ષીય ત્રિજ્યા \(r = R\) અને તારાનું દળ \(M_s = 2M\) છે:
\(T_1 = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3}{G(2M)}}\)

ગ્રહ \(P_2\) માટે, કક્ષીય ત્રિજ્યા \(r = 2R\) અને તારાનું દળ \(M_s = 4M\) છે:
\(T_2 = 2\pi \sqrt{\dfrac{(2R)^3}{G(4M)}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{8R^3}{4GM}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{2R^3}{GM}}\)

\(T_2\) અને \(T_1\) નો ગુણોત્તર લેતા:
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{2R^3}{GM}}}{\sqrt{\dfrac{R^3}{2GM}}} = \sqrt{2 \times 2} = 2\)

જવાબ: \(2\)