ત્રિજ્યા \(R\) અને લંબાઈ \(L\) ધરાવતો એક નક્કર નળાકાર ખરબચડા સમક્ષિતિજ સમતલ પર લપસી રહ્યો છે. \(t=0\) સમયે નળાકારનો તેની અક્ષને લંબ, રેખીય વેગ \(v_0=49\) m/s છે અને કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય વેગ \(v_0/4R\) છે. નળાકારને લોટણ ગતિ શરૂ કરવા માટે લાગતો સમય ________ સેકન્ડ છે. (ગતિક ઘર્ષણાંક \(\mu_K=0.25\) અને \(g=9.8\) m/s\(^2\))

પ્રારંભિક રેખીય વેગ, \(v_0 = 49\) m/s.

પ્રારંભિક કોણીય વેગ, \(\omega_0 = \dfrac{v_0}{4R}\).

નળાકારના સૌથી નીચલા બિંદુનો વેગ \(v_{bottom} = v_0 - \omega_0 R = v_0 - \dfrac{v_0}{4} = \dfrac{3v_0}{4} > 0\).

કારણ કે સૌથી નીચલું બિંદુ આગળની તરફ લપસી રહ્યું છે, ગતિક ઘર્ષણ બળ \(f_k = \mu_k m g\) પાછળની દિશામાં કાર્ય કરે છે.

રેખીય પ્રવેગ, \(a = -\dfrac{f_k}{m} = -\mu_k g\).

કોણીય પ્રવેગ, \(\alpha = \dfrac{f_k R}{I} = \dfrac{\mu_k m g R}{\dfrac{1}{2} m R^2} = \dfrac{2\mu_k g}{R}\).

\(t\) સમયે, રેખીય વેગ \(v = v_0 - \mu_k g t\) છે.

કોણીય વેગ \(\omega = \omega_0 + \alpha t = \dfrac{v_0}{4R} + \dfrac{2\mu_k g}{R} t\) છે.

શુદ્ધ લોટણ ગતિ શરૂ થવા માટે, \(v = \omega R\).

\(v_0 - \mu_k g t = \left( \dfrac{v_0}{4R} + \dfrac{2\mu_k g}{R} t \right) R\)

\(v_0 - \mu_k g t = \dfrac{v_0}{4} + 2\mu_k g t\)

\(3\mu_k g t = \dfrac{3v_0}{4}\)

\(t = \dfrac{v_0}{4\mu_k g}\)

આપેલ કિંમતો \(v_0 = 49\) m/s, \(\mu_k = 0.25\), અને \(g = 9.8\) m/s\(^2\) મૂકતાં:

\(t = \dfrac{49}{4 \times 0.25 \times 9.8} = \dfrac{49}{9.8} = 5\) s.

જવાબ: \(5\)