एक ठोस बेलन जिसकी त्रिज्या \(R\) और लंबाई \(L\) है, एक खुरदले क्षैतिज समतल पर फिसल रहा है। समय \(t=0\) पर बेलन का अक्ष के लंबवत एक स्थानांतरीय वेग \(v_0=49\) m/s है और केंद्र के परितः एक घूर्णी वेग \(v_0/4R\) है। बेलन द्वारा लुढ़कना शुरू करने में लिया गया समय ________ सेकंड है। (गतिज घर्षण गुणांक \(\mu_K=0.25\) और \(g=9.8\) m/s\(^2\))

प्रारंभिक स्थानांतरीय वेग, \(v_0 = 49\) m/s.

प्रारंभिक कोणीय वेग, \(\omega_0 = \dfrac{v_0}{4R}\).

बेलन के निम्नतम बिंदु का वेग है \(v_{bottom} = v_0 - \omega_0 R = v_0 - \dfrac{v_0}{4} = \dfrac{3v_0}{4} > 0\).

चूंकि निम्नतम बिंदु आगे की ओर फिसल रहा है, इसलिए गतिज घर्षण \(f_k = \mu_k m g\) पीछे की दिशा में कार्य करता है।

स्थानांतरीय त्वरण, \(a = -\dfrac{f_k}{m} = -\mu_k g\).

कोणीय त्वरण, \(\alpha = \dfrac{f_k R}{I} = \dfrac{\mu_k m g R}{\dfrac{1}{2} m R^2} = \dfrac{2\mu_k g}{R}\).

समय \(t\) पर, स्थानांतरीय वेग है \(v = v_0 - \mu_k g t\).

कोणीय वेग है \(\omega = \omega_0 + \alpha t = \dfrac{v_0}{4R} + \dfrac{2\mu_k g}{R} t\).

शुद्ध लोटन शुरू होने के लिए, \(v = \omega R\).

\(v_0 - \mu_k g t = \left( \dfrac{v_0}{4R} + \dfrac{2\mu_k g}{R} t \right) R\)

\(v_0 - \mu_k g t = \dfrac{v_0}{4} + 2\mu_k g t\)

\(3\mu_k g t = \dfrac{3v_0}{4}\)

\(t = \dfrac{v_0}{4\mu_k g}\)

दिए गए मानों \(v_0 = 49\) m/s, \(\mu_k = 0.25\), और \(g = 9.8\) m/s\(^2\) को प्रतिस्थापित करने पर:

\(t = \dfrac{49}{4 \times 0.25 \times 9.8} = \dfrac{49}{9.8} = 5\) s.

उत्तर: \(5\)