\(L\) લંબાઈનો એક ધાતુનો સળિયો ઉગમબિંદુ પરના તેના એક છેડાની આસપાસ નિયમિત કોણીય વેગ \(\omega\) સાથે ભ્રમણ કરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી રીતે \(B(r) = B_0 e^{-\lambda r}\) મુજબ ઘટે છે; જ્યાં \(\lambda\) એક ધન અચળાંક છે. પ્રેરિત emf (સળિયામાંના ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતા કેન્દ્રગામી બળને અવગણતા) છે :

ઉગમબિંદુથી \(r\) અંતરે આવેલા \(dr\) લંબાઈના નાના ખંડમાં પ્રેરિત ગતિક emf \(dE\) નીચે મુજબ અપાય છે:

\(dE = B(r) v(r) dr\)

સળિયો કોણીય વેગ \(\omega\) સાથે ભ્રમણ કરતો હોવાથી, ખંડનો વેગ \(v(r) = \omega r\) છે.

\(dE = B_0 e^{-\lambda r} (\omega r) dr\)

કુલ પ્રેરિત emf \(E\) એ \(dE\) નું \(r = 0\) થી \(r = L\) સુધીનું સંકલન છે:

\(E = \int_0^L B_0 \omega r e^{-\lambda r} dr\)

\(E = B_0 \omega \int_0^L r e^{-\lambda r} dr\)

ખંડશ: સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:

\(\int r e^{-\lambda r} dr = r \left( \dfrac{e^{-\lambda r}}{-\lambda} \right) - \int 1 \cdot \left( \dfrac{e^{-\lambda r}}{-\lambda} \right) dr\)

\(= -\dfrac{r}{\lambda} e^{-\lambda r} - \dfrac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda r}\)

નિશ્ચિત સંકલનનું \(0\) થી \(L\) સુધી મૂલ્યાંકન કરતા:

\(\int_0^L r e^{-\lambda r} dr = \left[ -\dfrac{L}{\lambda} e^{-\lambda L} - \dfrac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda L} \right] - \left[ 0 - \dfrac{1}{\lambda^2} e^0 \right]\)

\(= \dfrac{1}{\lambda^2} - e^{-\lambda L} \left( \dfrac{1}{\lambda^2} + \dfrac{L}{\lambda} \right)\)

આથી, કુલ પ્રેરિત emf છે:

\(E = B_0 \omega \left[ \dfrac{1}{\lambda^2} - e^{-\lambda L} \left( \dfrac{1}{\lambda^2} + \dfrac{L}{\lambda} \right) \right]\)

જવાબ: \(B_0 \omega \left[\dfrac{1}{\lambda^2} - e^{-\lambda L}\left(\dfrac{1}{\lambda^2} + \dfrac{L}{\lambda}\right)\right]\)