\(20\text{ cm}\) ત્રિજ્યા અને \(2\ \Omega\) અવરોધવાળું એક વર્તુળાકાર ગૂંચળું, સમય-સાપેક્ષ બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\vec{B} = (2t^2 + 2t + 3)\text{ T}\) માં મૂકવામાં આવે છે. \(t = 0\) સમયે, જ્યારે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય ત્યારે, \(t = 3\text{ s}\) સમયે ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ \(\dfrac{\alpha}{50}\text{ A}\) છે. \(\alpha\) નું મૂલ્ય _______ છે.
( \(\pi = 22/7\) લો)

વર્તુળાકાર ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલું ચુંબકીય ફ્લક્સ \(\Phi = BA \cos \theta\) વડે અપાય છે. ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી, ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો \(\theta = 0^{\circ}\) છે.

\(\Phi = B \cdot \pi r^2\)

આપેલ \(r = 20\text{ cm} = 0.2\text{ m}\), ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે:

\(A = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi\text{ m}^2\)

ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf ફૅરેડના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા અપાય છે:

\(|E| = \dfrac{d\Phi}{dt} = A \dfrac{dB}{dt}\)

આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(B = 2t^2 + 2t + 3\) નું સમય \(t\) ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:

\(\dfrac{dB}{dt} = \dfrac{d}{dt}(2t^2 + 2t + 3) = 4t + 2\)

\(t = 3\text{ s}\) સમયે, ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફારનો દર છે:

\(\dfrac{dB}{dt} = 4(3) + 2 = 14\text{ T/s}\)

હવે, આ મૂલ્યોને emf સમીકરણમાં મુકતા:

\(|E| = 0.04\pi \times 14 = 0.56\pi\text{ V}\)

ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ \(I\) છે:

\(I = \dfrac{|E|}{R} = \dfrac{0.56\pi}{2} = 0.28\pi\text{ A}\)

\(\pi = \dfrac{22}{7}\) નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:

\(I = 0.28 \times \dfrac{22}{7} = 0.04 \times 22 = 0.88\text{ A}\)

આપેલ છે કે પ્રેરિત પ્રવાહ \(\dfrac{\alpha}{50}\text{ A}\) છે. બંને મૂલ્યોને સરખાવતા:

\(\dfrac{\alpha}{50} = 0.88\)

\(\alpha = 0.88 \times 50 = 44\)

જવાબ: \(44\)