जब किसी कुंडली को एक समय-निर्भर चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो उसमें क्षयित शक्ति \(P\) है। कुंडली में फेरों की संख्या, कुंडली का क्षेत्रफल और कुंडली के तार की त्रिज्या क्रमशः \(N\), \(A\) और \(r\) हैं। एक दूसरी कुंडली के लिए फेरों की संख्या, कुंडली का क्षेत्रफल और कुंडली के तार की त्रिज्या क्रमशः \(2N\), \(2A\) और \(3r\) हैं। जब पहली कुंडली को दूसरी कुंडली से बदल दिया जाता है, तो उसमें क्षयित शक्ति \(\sqrt{2}\,\alpha P\) होती है। \(\alpha\) का मान _______ है।

कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है:

\(E = N A \dfrac{dB}{dt}\)

कुंडली का प्रतिरोध \(R = \rho \dfrac{l}{a}\) है, जहाँ \(l\) तार की कुल लंबाई और \(a\) इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।

तार की लंबाई \(l = N (2\pi R_c)\) है, जहाँ \(R_c\) कुंडली की त्रिज्या है। क्योंकि कुंडली का क्षेत्रफल \(A = \pi R_c^2\) है, हमारे पास \(R_c = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\) है।

इस प्रकार, \(l = 2N\sqrt{\pi A}\) है।

तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल \(a = \pi r^2\) है।

अतः, प्रतिरोध है:

\(R = \rho \dfrac{2N\sqrt{\pi A}}{\pi r^2} \propto \dfrac{N\sqrt{A}}{r^2}\)

कुंडली में क्षयित शक्ति है:

\(P = \dfrac{E^2}{R} \propto \dfrac{(N A)^2}{\dfrac{N\sqrt{A}}{r^2}} = N A^{3/2} r^2\)

दूसरी कुंडली के लिए, प्राचल \(N' = 2N\), \(A' = 2A\), और \(r' = 3r\) हैं। नई क्षयित शक्ति है:

\(P' = P \left(\dfrac{2N}{N}\right) \left(\dfrac{2A}{A}\right)^{3/2} \left(\dfrac{3r}{r}\right)^2\)

\(P' = P (2) (2\sqrt{2}) (9) = 36\sqrt{2} P\)

दिया गया है कि \(P' = \sqrt{2}\alpha P\), व्यंजकों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:

\(\sqrt{2}\alpha = 36\sqrt{2} \Rightarrow \alpha = 36\)

उत्तर: \(36\)