જ્યારે કોઈ ગૂંચળાને સમય આધારિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાં વ્યય થતો પાવર \(P\) છે. તેના આંટાઓની સંખ્યા, ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ અને ગૂંચળાના તારની ત્રિજ્યા અનુક્રમે \(N\), \(A\) અને \(r\) છે. બીજા ગૂંચળા માટે, આંટાઓની સંખ્યા, ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ અને ગૂંચળાના તારની ત્રિજ્યા અનુક્રમે \(2N\), \(2A\) અને \(3r\) છે. જ્યારે પ્રથમ ગૂંચળાને બીજા ગૂંચળાથી બદલવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાં વ્યય થતો પાવર \(\sqrt{2}\,\alpha P\) છે. \(\alpha\) નું મૂલ્ય _______ છે.

ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf ફેરાડેના નિયમ પરથી નીચે મુજબ મળે છે:

\(E = N A \dfrac{dB}{dt}\)

ગૂંચળાનો અવરોધ \(R = \rho \dfrac{l}{a}\) છે, જ્યાં \(l\) એ તારની કુલ લંબાઈ અને \(a\) એ તેનો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.

તારની લંબાઈ \(l = N (2\pi R_c)\) છે, જ્યાં \(R_c\) એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે. ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ \(A = \pi R_c^2\) હોવાથી, આપણને \(R_c = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\) મળે છે.

આમ, \(l = 2N\sqrt{\pi A}\).

તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(a = \pi r^2\) છે.

તેથી, અવરોધ છે:

\(R = \rho \dfrac{2N\sqrt{\pi A}}{\pi r^2} \propto \dfrac{N\sqrt{A}}{r^2}\)

ગૂંચળામાં વ્યય થતો પાવર છે:

\(P = \dfrac{E^2}{R} \propto \dfrac{(N A)^2}{\dfrac{N\sqrt{A}}{r^2}} = N A^{3/2} r^2\)

બીજા ગૂંચળા માટે, પ્રાચલો \(N' = 2N\), \(A' = 2A\) અને \(r' = 3r\) છે. નવો વ્યય થતો પાવર છે:

\(P' = P \left(\dfrac{2N}{N}\right) \left(\dfrac{2A}{A}\right)^{3/2} \left(\dfrac{3r}{r}\right)^2\)

\(P' = P (2) (2\sqrt{2}) (9) = 36\sqrt{2} P\)

આપેલ છે કે \(P' = \sqrt{2}\alpha P\), પદાવલિઓની સરખામણી કરતા આપણને મળે છે:

\(\sqrt{2}\alpha = 36\sqrt{2} \Rightarrow \alpha = 36\)

જવાબ: \(36\)