त्रिज्या \(8\, cm\) के एक ठोस अर्ध गोले का द्रव्यमान केन्द्र सपाट पृष्ठ के केन्द्र से \(X \,cm\) दूरी पर है। तब \(x\) का मान है\(.....\)।

धनात्मक \(x\)-दिशा में गमन करती हुई किसी प्रगामी तरंग को \(y ( x , t )= A \sin ( kx -\omega t +\phi)\), से निरूपित किया जाता है। \(t =0\) पर खींचा गया आशु चित्र निम्न से दिया जाता है। इस तरंग के लिए, कला \(\phi\) का मान होगा।

एक संधारित्र, प्रतिरोध \(R\) के द्वारा निरावेशित किया जाता है। समय \(t_1\) में संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रारम्भिक मान की आधी हो जाती है तथा समय \(t _2\) में संचित आवेश इसके प्रारम्भिक मान का \(1 / 8\) गुना हो जाता है तो अनुपात \(t _1 / t _2\) होगा:

समान लंबाई के तीन चालक जिनकी ऊष्मीय चालकताएँ \(\mathrm{k}_1, \mathrm{k}_2\) और \(\mathrm{k}_3\) हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, जुड़े हुए हैं।

\(1^{\text {st }}\) और \(2^{\text {nd }}\) चालक के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है और \(3^{\text {rd }}\) चालक के लिए, यह \(1^{\text {st }}\) चालक का दोगुना है। तापमान चित्र में दिए गए हैं। स्थायी अवस्था में, \(\theta\) का मान _______ \({ }^{\circ} \mathrm{C}\) है।
(दिया है : \(\mathrm{k}_1=60 \mathrm{Js}^{-1} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}, \mathrm{k}_2=120 \mathrm{Js}^{-1} \mathrm{~m}^{-1}\) \(\mathrm{~K}^{-1}, \mathrm{k}_3=135 \mathrm{Js}^{-1} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\) )

मंगल तारे के दो उपग्रह (चन्द्रमा) हैं। यदि इनमें से एक का आवर्तकाल \(7\) घन्टे \(30\) मिनट है और कक्षा की त्रिज्या \(9.0 \times 10^{3}\, km\) है। तो मंगल का द्रव्यमान है। \(\left\{\frac{4 \pi^{2}}{G}=6 \times 10^{11} {N}^{-1} {m}^{-2} {kg}^{2}\right\}\)

सूची-I को सूची-II से सुमेलित कीजिए।

सूची-I	सूची-II
(A) बोल्ट्ज़मान नियतांक	I. \(\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-1}\)
(B) श्यानता गुणांक	II. \(\mathrm{MLT}^{-3} \mathrm{~K}^{-1}\)
(C) प्लांक नियतांक	III. \(\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}\)
(D) ऊष्मीय चालकता	IV. \(\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-1}\)

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

एक आवेश \(q\) को एक घन के किसी एक फलक के केंद्र पर रखा गया है। घन से जुड़ा फ्लक्स _______ है।

चार एकसमान ठोस बेलनों, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या \(R\) और लंबाई \(L\) \((R < L)\) है, से बने एक वर्गाकार लूप का जड़त्व आघूर्ण, इसके विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली अक्ष के परितः __________ है। (संपूर्ण लूप का कुल द्रव्यमान \(M\) मान लीजिए)

माना \(X=\{x \in N : 1 \leq x \leq 17\}\) और \(Y=\{a x+b: x \in X\) और \(a, b \in R , a>0\}\) यदि \(Y\) के अवयव का माध्य और प्रसरण क्रमश \(17\) और \(216\) है तो \(a+b\) बराबर है

एक \(M\) द्रव्यमान एवं \(R\) त्रिज्या की पतली वृत्ताकार वलय \(2\,rads ^{-1}\) नियत कोणीय वेग से वलय के केन्द्र से गुजरने वाली तथा इसके तल के ऊर्ध्वाधर अक्ष के सापेक्ष क्षैतिज तल में घूर्णन कर रही है। यदि दो वस्तु जिनका प्रत्येक का द्रव्यमान ' \(m\) ' है, को वलय के व्यास के सिरों पर धीरे से जोड़ दिया जाता है तो वलय का नया कोणीय वेग ( \(rads ^{-1}\) में) होगा।

समाकलन \(\int sec ^{2 / 3} x \operatorname{cosec}^{4 / 3} x d x\) बराबर है : (यहाँ \(C\) एक समाकलन अचर है)

दो ऊर्ध्वाधर पोल, \(150 \,m\) की दूरी पर है तथा उन में से एक की ऊँचाई दूसरे की ऊँचाई से तीन गुना है। यदि एक दर्शक, जो पोलों के पादों को मिलाने वाली रेखा के मध्यबिन्दु पर है, पोलों के शीर्षों के उन्नयन कोण पूरक पाता है, तो छोटे पोल की ऊँचाई (मीटरों में) है

माना \(n \geq 2\) एक प्राकृत संख्या है तथा \(0<\theta<\pi / 2\) है, तो \(\int \frac{\left(\sin ^{ n } \theta-\sin \theta\right)^{\frac{1}{ n }} \cos \theta}{\sin ^{ n +1} \theta} d \theta\) बराबर है (जहाँ \(C\) एक समाकलन अचर है)