एक कार्नों इन्जन को \(900 \,K\) और \(300 \,K\) के दो ऊष्मा भंडारों के बीच चलाया जाता है। इन्जन प्रत्येक चक्र (cycle) में \(1200\, J\) परिमाण का कार्य करता है। इन्जन निम्न ताप वाले ऊष्मा भंडार में प्रति चक्र कितनी ऊष्मा \(( J\) में ) छोडता है।

\(x-\) दिशा में \(2\, v\) चाल से चलते हुए \(m\) द्रव्यमान के एक कण से, \(y-\) दिशा में \(v\) वेग से चलता हुआ \(2\, m\) द्रव्यमान का एक कण, टकराता है। यदि यह संघट्ट (टक्कर) पूर्णंत: अप्रत्यास्थ है तो, टक्कर के दौरान ऊर्जा का क्षय (हानि) होगी

समान लंबाई के तीन चालक जिनकी ऊष्मीय चालकताएँ \(\mathrm{k}_1, \mathrm{k}_2\) और \(\mathrm{k}_3\) हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, जुड़े हुए हैं।

\(1^{\text {st }}\) और \(2^{\text {nd }}\) चालक के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है और \(3^{\text {rd }}\) चालक के लिए, यह \(1^{\text {st }}\) चालक का दोगुना है। तापमान चित्र में दिए गए हैं। स्थायी अवस्था में, \(\theta\) का मान _______ \({ }^{\circ} \mathrm{C}\) है।
(दिया है : \(\mathrm{k}_1=60 \mathrm{Js}^{-1} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}, \mathrm{k}_2=120 \mathrm{Js}^{-1} \mathrm{~m}^{-1}\) \(\mathrm{~K}^{-1}, \mathrm{k}_3=135 \mathrm{Js}^{-1} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\) )

एक छोटी गेंद जिसका द्रव्यमान ' \(m\) ' तथा घनत्व \(d _1\) है, को जब ग्लिसरीन से भरे एक बर्तन में छोडा जाता है, तो कुछ समय पश्चात् उसका वेग नियत हो जाता है। यदि ग्लिसरीन का घनत्व \(d _2\) हो, तो गेंद पर लगने वाला श्यान बल होगा:

\(\mathrm{R}\) प्रतिरोध वाले एकसमान तार से बने \(\mathrm{n}\)-भुजाओं वाले किसी समबाहु बहुभुज के दो समीपवर्ती कोनों के बीच का तुल्य प्रतिरोध होगा:

प्रत्येक द्रव्यमान \(m\) वाले चार गोले मिलकर चित्रानुसार भुजा \(d\) वाला एक वर्ग बनाते है। एक द्रव्यमान \(M\) का पांचवा गोला वर्ग के केन्द्र पर रिथत है। इस निकाय की कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होगी-

प्रकाशीय माध्यमों के एक युग्म के लिए क्रांतिक आपतन कोण \(45^{\circ}\) है। पहले और दूसरे माध्यमों के अपवर्तनांकों का अनुपात _______ है।

माना \( (2\alpha, \alpha) \) वह बृहत्तम अंतराल है जिसमें फलन \( f(t)=\frac{|t+1|}{t^{2}}, t<0 \) निरंतर ह्रासमान है। तब फलन \( g(x)=2\log_{e}(x-2)+\alpha x^{2}+4x-\alpha, x>2 \) का स्थानीय उच्चतम मान ___ है।

\(n\) का वह न्यूनतम धनपूर्णांक मान जिसके लिए \(\left(\frac{1+i \sqrt{3}}{1-i \sqrt{3}}\right)^{ n }=1\) है 

\(10\,kg\) द्रव्यमान का कोई पिण्ड, क्षैतिज से \(45^{\circ}\) के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। पिण्ड का प्रक्षेप्य पथ एक बिन्दु \((20,10)\) से होता हुआ गुजरता है। यदि उड्डयन काल \(T\) है, तो समय \(t =\frac{ T }{\sqrt{2}}\) पर संवेग सदिश होगा \(..........\) [दिया है : \(g =10\,m / s ^2\) ]

यदि \(\int \frac{\cos \theta}{5+7 \sin \theta-2 \cos ^{2} \theta} d \theta=A \log _{e}|B(\theta)|\) \(+ C\), है, जहाँ \(C\) एक समाकलन अचर है, तो \(\frac{ B (\theta)}{ A }\) हो सकता है

माना \(a\) के धन पूर्णांक मानों, जिन के लिए \(\frac{a x^2+2(a+1) x+9 a+4}{x^2-8 x+32} < 0, \forall x \in \mathbb{R}\) का समुच्चय \(\mathrm{S}\) है। तो \(\mathrm{S}\) में अवयवों की संख्या ........... है।

एक ऊर्ध्वाधर पोल एक क्षैतिज धरातल पर स्थित है। इसको \(3: 7\) के अनुपात में दो भागों में बांटा गया है जिनमें नीचे का भाग ऊपर के भाग से छोटा है। यदि यह दो भाग, पोल के आधार से धरातल पर \(18\) मी. दूर एक बिंदु पर समान कोण बनाते है, तो पोल की ऊँचाई (मीटर में) है