लम्बाई L की एक छड़ का रेखीय द्रव्यमान घनत्व (x) असमान है और इसका मान ( x)= a + b ( x / L)2 है। यहाँ पर a और b स्थिरांक है और 0 x L छड़ के द्रव्यमान केन्द्र के लिये x का मान होगा:

(A) \frac{4}{3}\left(\frac{a+b}{2 a+3 b}\right) L

(B) \frac{3}{2}\left(\frac{a+b}{2 a+b}\right) L

(C) \frac{3}{2}\left(\frac{2 a+b}{3 a+b}\right) L

JEE Mains · Physics · STD 11 - 6.कणो के निकाय तथा घूर्णी गति

लम्बाई \(L\) की एक छड़ का रेखीय द्रव्यमान घनत्व \(\rho(x)\) असमान है और इसका मान \(\rho( x )= a + b \left(\frac{ x }{ L }\right)^{2}\) है। यहाँ पर \(a\) और \(b\) स्थिरांक है और \(0 \leq x \leq L\) छड़ के द्रव्यमान केन्द्र के लिये \(x\) का मान होगा :

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सत्यापित हल

सही उत्तर

(D) \(\frac{3}{4}\left(\frac{2 a+b}{3 a+b}\right) L\)

विस्तृत व्याख्या

\(\mathrm{x}_{\mathrm{cm}}=\frac{\int \mathrm{xdm}}{\int \mathrm{dm}}=\frac{\int(\lambda \mathrm{dx}) \mathrm{x}}{\int \mathrm{dm}}\)

\(=\frac{\int_{0}^{L}\left(a+\frac{b x^{2}}{L^{2}}\right) x d x}{\int_{0}^{L}\left(a+\frac{b x^{2}}{L^{2}}\right) d x}\)

\(=\frac{\frac{a L^{2}}{2}+\frac{b}{L^{2}} \cdot \frac{L^{4}}{4}}{a L+\frac{b}{L^{2}} \cdot \frac{L^{3}}{3}}\)

\(=\frac{\left(\frac{4 a+2 b}{8}\right) L}{\frac{(3 a+b)}{3}}=\frac{3}{4} \frac{(2 a+b) L}{(3 a+b)}\)

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