\(L\) લંબાઈ ધરાવતા અરેખીય ઘનતા ધરાવતા સળિયાની ઘનતા \(\rho(\mathrm{x})={a}+{b}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{L}}\right)^{2}\) મુજબ આપવામાં આવે છે જ્યાં \(a\) અને \( {b}\) અચળાંક અને \(0 \leq \mathrm{x} \leq \mathrm{L}\) છે.સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે \(x\) નું મૂલ્ય કેટલું હોવું જોઈએ?

A \(\frac{4}{3}\left(\frac{a+b}{2 a+3 b}\right) L\)
B \(\frac{3}{2}\left(\frac{a+b}{2 a+b}\right) L\)
C \(\frac{3}{2}\left(\frac{2 a+b}{3 a+b}\right) L\)
D \(\frac{3}{4}\left(\frac{2 a+b}{3 a+b}\right) L\)

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(D) \(\frac{3}{4}\left(\frac{2 a+b}{3 a+b}\right) L\)

Step-by-step Solution

Detailed explanation

\(\mathrm{x}_{\mathrm{cm}}=\frac{\int \mathrm{xdm}}{\int \mathrm{dm}}=\frac{\int(\lambda \mathrm{dx}) \mathrm{x}}{\int \mathrm{dm}}\) \(=\frac{\int_{0}^{L}\left(a+\frac{b x^{2}}{L^{2}}\right) x d x}{\int_{0}^{L}\left(a+\frac{b x^{2}}{L^{2}}\right) d x}\)…

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

Same subject

રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા \(\lambda\) ધરાવતા ત્રણ અનંત લંબાઈના તાર અનુક્રમે \(x\)-અક્ષ, \(y\)-અક્ષ અને \(z\)-અક્ષ પર મૂકેલા છે. નીચેનામાંથી કઈ સમસ્થિતિમાન સપાટી દર્શાવે છે?

JEE Mains 2025 Hard

લિસ્ટ\(-\)\(I\) (વિદ્યુત ચુંબકીય તરંગના પ્રકાર) અને લિસ્ટ\(-\)\(II\) ( એને આનુષાંગિક ઉપયોગ ) ને જોડો અને નીચેના લિસ્ટમાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

લિસ્ટ\(-I\)	લિસ્ટ\(-II\)
\(a\). પારરક્ત તરંગ	\(i\). સાંધા ના દુખાવાની સારવાર માટે
\(b\). રેડિયો દ્વારા	\(ii\). પ્રસારણ માટે
\(c\). ક્ષ-કિરણો	\(iii\). હાડકામાં પડેલ તિરાડ શોધવા માટે
\(d\). પારજાંબલી કિરણો	\(iv\). વાતાવરણ ના ઓઝૉન સ્તર દ્વારા થતું શોષણ

\(a\) \(b\) \(c\) \(d\)

JEE Mains 2014 Medium

Explore more questions on app

From JEE Mains

Explore more questions on app