एक उर्द्धवाधर बेलनाकार पात्र में आदर्श गैस भरा गया है जो मुक्त चलित पिस्टन द्रव्यमान \(M\) है को सहायता प्रदान करता है। बेलनाकार पात्र एवं पिस्टन दोनों के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल \(A\) समान है। जब पिस्टन साम्यावस्था में है तो गैस का आयतन \(V _{0}\) तथा दाब \(P _{0}\) है। पिस्टन को अल्प विस्थापित कर छोड़ दिया जाता है। यह मानते हुए कि निकाय वातावरण से पूर्णत: विलगित है पिस्टन द्वारा प्रदर्शित स. आ. गति आवृति होगी

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उत्तर और हल

सही उत्तर

(C) \(\;\frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{{A^2}\gamma {P_o}}}{{M{V_0}}}} \)

विस्तृत व्याख्या

\({\frac{M g}{A}=P_{0}}\) \( {P_{0} V_{0}^{\gamma}=P V^{\gamma}}\)

\({\mathrm{Mg}=\mathrm{P}_{0} \mathrm{A}}{\ldots(1)}\) \( {P_{0} A x_{0}^{\gamma}=P A\left(x_{0}-x\right)^{\gamma}}\)

\(P=\frac{P_{0} x_{0}^{\gamma}}{\left(x_{0}-x\right)^{\gamma}}\)

Let piston is displaced by distance \(x\)

\(M g-\left(\frac{P_{0} x_{0}^{\gamma}}{\left(x_{0}-x\right)^{\gamma}}\right) A=F_{\text {restoring }}\)

\(P_{0} A\left(1-\frac{x_{0}^{\gamma}}{\left(x_{0}-x\right)^{\gamma}}\right)=F_{\text {restoring }} \quad\left[x_{0}-x \approx x_{0}\right]\)

\(F=-\frac{\gamma P_{0} A x}{x_{0}}\)

Frequency with which piston executes \(SHM.\)

\(f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\gamma P_{0} A}{x_{0} M}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\gamma P_{0} A^{2}}{M V_{0}}}\)

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