एक समान घनत्व वाला एक पिंड चित्र में दर्शाए अनुसार प्रारंभिक वेग \(v_0\) के साथ वक्र पथ पर ऊपर की ओर लुढ़कता है। यदि पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई \(\dfrac{7v_0^2}{10g}\) है (जहाँ \(g\) = गुरुत्वीय त्वरण), तो वह पिंड एक _______ है।

यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, लुढ़कते हुए पिंड की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

बिना फिसले लुढ़कते हुए पिंड की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
\(K = K_{\text{translational}} + K_{\text{rotational}}\)
\(K = \dfrac{1}{2}mv_0^2 + \dfrac{1}{2}I\omega^2\)

\(\omega = \dfrac{v_0}{R}\) और \(I = mk^2\) (जहाँ \(k\) घूर्णन त्रिज्या है) प्रतिस्थापित करने पर:
\(K = \dfrac{1}{2}mv_0^2 + \dfrac{1}{2}(mk^2)\left(\dfrac{v_0}{R}\right)^2 = \dfrac{1}{2}mv_0^2\left(1 + \dfrac{k^2}{R^2}\right)\)

अधिकतम ऊँचाई \(h\) पर स्थितिज ऊर्जा है:
\(U = mgh\)

दिया गया है कि \(h = \dfrac{7v_0^2}{10g}\), तो हमें मिलता है:
\(U = mg\left(\dfrac{7v_0^2}{10g}\right) = \dfrac{7}{10}mv_0^2\)

गतिज और स्थितिज ऊर्जा को बराबर करने पर (\(K = U\)):
\(\dfrac{1}{2}mv_0^2\left(1 + \dfrac{k^2}{R^2}\right) = \dfrac{7}{10}mv_0^2\)

\(1 + \dfrac{k^2}{R^2} = \dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5}\)

\(\dfrac{k^2}{R^2} = \dfrac{7}{5} - 1 = \dfrac{2}{5}\)

जड़त्व आघूर्ण \(I = \dfrac{2}{5}mR^2\) है, जो एक ठोस गोले से मेल खाता है।

उत्तर: ठोस गोला