સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરમાં \(A\) આડછેડનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતી પ્લેટોને એકબીજાથી \(d\) અંતરે મૂકેલી છે.તેમની વચ્ચે ડાઈઇલેક્ટ્રિક ભરવામાં આવે છે જેનો ડાઈઇલેક્ટ્રિક અચળાંક \(\mathrm{k}(\mathrm{x})=\mathrm{K}(1+\alpha \mathrm{x})\) મુજબ ફરે છે. જ્યાં \(\mathrm{x}\) એ એક પ્લેટથી અંતર છે.જો \((\alpha \text {d)}<<1,\) હોય તો તંત્રનું કુલ કેપેસીટન્સ ક્યાં સૂત્ર વડે આપી શકાય?

Capacitance of element

\(\mathrm{d} \mathrm{C}=\frac{(\mathrm{A}) \mathrm{K}(1+\alpha \mathrm{x}) \varepsilon_{0}}{\mathrm{dx}}\)

Now all such elements are is series so

equivalent capacitance

\(\frac{1}{\mathrm{C}}=\int \frac{1}{\mathrm{d} \mathrm{C}}=\int_{0}^{\mathrm{d}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{AK} \varepsilon_{0}(1+\alpha \mathrm{x})}\)

\(\frac{1}{\mathrm{C}}=\frac{1}{\alpha \mathrm{AK} \varepsilon_{0}} \ln \left(\frac{1+\alpha \mathrm{d}}{1}\right)\)

\(=\frac{1}{\mathrm{C}}=\frac{1}{\alpha \mathrm{AK} \varepsilon_{0}}\left(\alpha \mathrm{d}-\frac{(\alpha \mathrm{d})^{2}}{2}+\frac{(\alpha \mathrm{d})^{3}}{3}+\ldots .\right)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{C}}=\frac{\alpha \mathrm{d}}{\alpha \mathrm{AK} \varepsilon_{0}}\left(1-\frac{\alpha \mathrm{d}}{2}+\frac{(\alpha \mathrm{d})^{2}}{3}+\ldots .\right)\)

\(\frac{1}{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{AK} \varepsilon_{0}}\left(1-\frac{\alpha \mathrm{d}}{2}\right)\)

\(C=\frac{A K \varepsilon_{0}}{d}\left(1+\frac{\alpha d}{2}\right)\)