\(q\) વિદ્યુતભાર અને \(m\) દળ ધરાવતો એક કણ ઉગમબિંદુમાંથી પ્રારંભિક વેગ \(\vec{v} = \left(\dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\hat{x} + \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\hat{y}\right)\) સાથે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. અહીં એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\vec{B} = B_0 \hat{z}\) અને અવકાશ-પરિવર્તનશીલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\vec{E} = E_0 e^{-\lambda x}\hat{x}\) \(0 \leq x \leq L\) વિસ્તારમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. એક એવું અંતર કાપ્યા પછી કે જેથી \(x\)-યામ \(x=0\) થી બદલાઈને \(x=L\) થાય છે, ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર _______ છે.

કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર, કણની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર તેના પર લાગતા બધા બળો દ્વારા થતા કુલ કાર્ય જેટલો હોય છે.

કણ પર લાગતા બળો વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ છે. ચુંબકીય બળ \(\vec{F}_B = q(\vec{v} \times \vec{B})\) દ્વારા અપાય છે. કારણ કે ચુંબકીય બળ હંમેશા કણના વેગ સદિશને લંબ હોય છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતા કાર્ય જેટલો હોય છે. વિદ્યુત બળ \(\vec{F}_E = q\vec{E} = qE_0 e^{-\lambda x}\hat{x}\) છે.

જ્યારે કણ \(x = 0\) થી \(x = L\) સુધી ગતિ કરે છે, ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય નીચે મુજબ અપાય છે:

\(W_E = \int_{0}^{L} \vec{F}_E \cdot d\vec{r} = \int_{0}^{L} qE_0 e^{-\lambda x} dx\)

સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા, આપણને મળે છે:

\(W_E = qE_0 \left[ \dfrac{e^{-\lambda x}}{-\lambda} \right]_{0}^{L}\)

\(W_E = -\dfrac{qE_0}{\lambda} (e^{-\lambda L} - e^{0})\)

\(W_E = \dfrac{qE_0}{\lambda} [1 - e^{-\lambda L}]\)

આમ, ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર \(\dfrac{qE_0}{\lambda} [1 - e^{-\lambda L}]\) છે.

જવાબ: \(\dfrac{qE_0}{\lambda}[1 - e^{-\lambda L}]\)