आवेश \(q\) तथा द्रव्यमान \(m\) का एक कण मूल बिंदु से प्रारंभिक वेग \(\vec{v} = \left(\dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\hat{x} + \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\hat{y}\right)\) के साथ प्रक्षेपित किया जाता है। क्षेत्र \(0 \leq x \leq L\) के भीतर एकसमान चुंबकीय क्षेत्र \(\vec{B} = B_0 \hat{z}\) तथा एक स्थान-परिवर्ती विद्युत क्षेत्र \(\vec{E} = E_0 e^{-\lambda x}\hat{x}\) उपस्थित है। इतनी दूरी तय करने के बाद कि \(x\)-निर्देशांक \(x=0\) से \(x=L\) तक बदल गया है, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन _______ है।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होता है।

कण पर कार्य करने वाले बल विद्युत बल और चुंबकीय बल हैं। चुंबकीय बल \(\vec{F}_B = q(\vec{v} \times \vec{B})\) द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय बल हमेशा कण के वेग सदिश के लंबवत होता है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन केवल विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है। विद्युत बल \(\vec{F}_E = q\vec{E} = qE_0 e^{-\lambda x}\hat{x}\) है।

कण के \(x = 0\) से \(x = L\) तक गति करने पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार दिया जाता है:

\(W_E = \int_{0}^{L} \vec{F}_E \cdot d\vec{r} = \int_{0}^{L} qE_0 e^{-\lambda x} dx\)

समाकलन का मूल्यांकन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(W_E = qE_0 \left[ \dfrac{e^{-\lambda x}}{-\lambda} \right]_{0}^{L}\)

\(W_E = -\dfrac{qE_0}{\lambda} (e^{-\lambda L} - e^{0})\)

\(W_E = \dfrac{qE_0}{\lambda} [1 - e^{-\lambda L}]\)

इस प्रकार, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन \(\dfrac{qE_0}{\lambda} [1 - e^{-\lambda L}]\) है।

उत्तर: \(\dfrac{qE_0}{\lambda}[1 - e^{-\lambda L}]\)