\(50\,cm\) લંબાઈ અને \(10\,g\) દળ ધરાવતી એક દોરી પરથી પસાર થતા લંબગતત તરંગોની ઝડપ \(60\,ms ^{-1}\) જેટલી છે. તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(2.0\,mm ^2\) અને તેનો યંગ-મોડ્યુલસ \(1.2 \times 10^{11}\,Nm ^{-2}\) છે. તારમાં તણાવને કારણે તેની મૂળ પ્રાકૃતિક લંબાઈ કરતા (લંબાઈમાં) વિસ્તરણ \(x \times 10^{-5} \;m\) જેટલું છે. \(x\) નું મૂલ્ય \(............\) થશે.

સ્પષ્ટીકરણ:
તરંગ મિકેનિક્સ અને સ્થિતિસ્થાપકતાના નિયમોનો સમન્વય કરીને તારની લંબાઈમાં થતા વધારાની સાચી ગણતરી નીચે મુજબ છે:

1. રેખીય દળ ઘનતા (\( \mu \)) શોધવી:
રેખીય દળ ઘનતા એટલે કે દોરીની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ:
\( \text{દળ } (m) = 10\text{ g} = 10 \times 10^{-3}\text{ kg} \)
\( \text{લંબાઈ } (L) = 50\text{ cm} = 0.5\text{ m} \)
\( \mu = \frac{m}{L} = \frac{10 \times 10^{-3}}{0.5} = 0.02\text{ kg/m} \)

2. તરંગની ઝડપ પરથી તણાવ બળ (\( T \)) મેળવવું:
તણાવવાળી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
\( v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \implies T = v^2 \times \mu \)
આપેલ ઝડપ \( v = 60\text{ ms}^{-1} \) ની કિંમત મૂકતાં:
\( T = (60)^2 \times 0.02 = 3600 \times 0.02 = 72\text{ N} \)

3. લંબાઈમાં થતો વધારો (\( \Delta l \)) શોધવો:
યંગ મોડ્યુલસ (\( Y \)) ના સમીકરણ પરથી લંબાઈનો વધારો કર્તા બનાવતા:
\( Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{T / A}{\Delta l / L} \implies \Delta l = \frac{T L}{A Y} \)
આડછેદના ક્ષેત્રફળને મીટર એકમમાં ફેરવતા: \( A = 2.0\text{ mm}^2 = 2.0 \times 10^{-6}\text{ m}^2 \)
કિંમતો મૂકી સાદુંરૂપ આપતાં:
\( \Delta l = \frac{72 \times 0.5}{2.0 \times 10^{-6} \times 1.2 \times 10^{11}} \)
\( \Delta l = \frac{36}{2.4 \times 10^5} = 15 \times 10^{-5}\text{ m} \)

આ મૂલ્યને પ્રશ્નમાં આપેલા પદ \( x \times 10^{-5}\text{ m} \) સાથે સરખાવતા આપણને સ્પષ્ટપણે \( x = 15 \) મળે છે.

આથી, સાચો ઉત્તર વિકલ્પ B છે.