एक \(50\,cm\) लम्बी एवं \(10\,g\) द्रव्यमान की रस्सी पर चलने वाली अनुप्रस्थ तरंग की चाल \(60\,ms ^{-1}\) है। तार का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल \(2.0\,mm ^2\) और इसका यंग गुणांक \(1.2 \times 10^{11}\,Nm ^{-2}\) है। तन्यता के कारण इसकी वास्तविक लम्बाई में हुई वृद्धि \(x \times 10^{-5}\,m\) है। \(x\) का मान है \(..............\)

स्पष्टीकरण:
आइए तरंग गतिकी और प्रत्यास्थता के सिद्धांतों को मिलाकर तार में होने वाली लंबाई वृद्धि की चरण-दर-चरण गणना करें:

1. रेखीय द्रव्यमान घनत्व (\( \mu \)) ज्ञात करना:
डोरी की प्रति इकाई लम्बाई का द्रव्यमान निम्नलिखित है:
\( \text{द्रव्यमान } (m) = 10\text{ g} = 10 \times 10^{-3}\text{ kg} \)
\( \text{लम्बाई } (L) = 50\text{ cm} = 0.5\text{ m} \)
\( \mu = \frac{m}{L} = \frac{10 \times 10^{-3}}{0.5} = 0.02\text{ kg/m} \)

2. तरंग की चाल से तनाव (\( T \)) ज्ञात करना:
अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र निम्नलिखित है:
\( v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \implies T = v^2 \times \mu \)
दिए गए वेग \( v = 60\text{ ms}^{-1} \) का मान रखने पर:
\( T = (60)^2 \times 0.02 = 3600 \times 0.02 = 72\text{ N} \)

3. लंबाई में वृद्धि (\( \Delta l \)) की गणना:
यंग मापांक (\( Y \)) के मूल सूत्र से:
\( Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{T / A}{\Delta l / L} \implies \Delta l = \frac{T L}{A Y} \)
क्षेत्रफल को मीटर इकाई में बदलने पर: \( A = 2.0\text{ mm}^2 = 2.0 \times 10^{-6}\text{ m}^2 \)
\( \Delta l = \frac{72 \times 0.5}{2.0 \times 10^{-6} \times 1.2 \times 10^{11}} \)
\( \Delta l = \frac{36}{2.4 \times 10^5} = 15 \times 10^{-5}\text{ m} \)

इसकी तुलना प्रश्न में दिए गए रूप \( x \times 10^{-5}\text{ m} \) से करने पर हमें \( x = 15 \) प्राप्त होता है।

अतः विकल्प B सही उत्तर है।