1000 kg દળ ધરાવતો એક ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીથી 270 km ની ઊંચાઈએ આવેલી કક્ષામાં પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે. આ કક્ષામાં ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જા ______ \( \times 10^{10}\text{ J} \) હશે.
(પૃથ્વીનું દળ \( = 6 \times 10^{24}\text{ kg} \), પૃથ્વીની ત્રિજ્યા \( = 6.4 \times 10^6\text{ m} \), ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક \( = 6.67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2} \))

સ્પષ્ટીકરણ:
ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જાની સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ગણતરી નીચે મુજબ છે:

1. આપેલી માહિતી નક્કી કરવી:
ઉપગ્રહનું દળ \( (m) = 1000\text{ kg} = 10^3\text{ kg} \)
પૃથ્વીનું દળ \( (M_e) = 6 \times 10^{24}\text{ kg} \)
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા \( (R_E) = 6.4 \times 10^6\text{ m} \)
કક્ષાની ઊંચાઈ \( (h) = 270\text{ km} = 2.7 \times 10^5\text{ m} \)

2. કક્ષીય ત્રિજ્યા \( (r) \) ની ગણતરી:
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી ઉપગ્રહનું કુલ અંતર:
\( r = R_E + h = 6.4 \times 10^6\text{ m} + 0.27 \times 10^6\text{ m} = 6.67 \times 10^6\text{ m} \)

3. ગતિ ઊર્જાનું સમીકરણ લાગુ પાડવું:
સ્થિર વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
\( \text{KE} = \frac{G M_e m}{2r} = \frac{G M_e m}{2(R_E + h)} \)

સમીકરણમાં સાચી કિંમતો મૂકતા:
\( \text{KE} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 10^3}{2 \times 6.67 \times 10^6} \)

અંશ અને છેદમાંથી સમાન પદ \( 6.67 \) દૂર કરીને સાદુંરૂપ આપતા:
\( \text{KE} = \frac{6 \times 10^{16}}{2 \times 10^6} \)
\( \text{KE} = 3 \times 10^{10}\text{ J} \)

આથી, સાચો ઉત્તર વિકલ્પ C છે.