1000 kg द्रव्यमान के एक उपग्रह को पृथ्वी की सतह से 270 km की ऊँचाई पर एक कक्षा में पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगाने के लिए प्रक्षेपित किया जाता है। इस कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा ______ \( \times 10^{10}\text{ J} \) होगी।
(पृथ्वी का द्रव्यमान \( = 6 \times 10^{24}\text{ kg} \), पृथ्वी की त्रिज्या \( = 6.4 \times 10^6\text{ m} \), गुरुत्वाकर्षण नियतांक \( = 6.67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2} \))

स्पष्टीकरण:
आइए गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांतों का उपयोग करके उपग्रह की गतिज ऊर्जा की गणना चरण-दर-चरण करते हैं:

1. दिए गए मानों की पहचान:
उपग्रह का द्रव्यमान \( (m) = 1000\text{ kg} = 10^3\text{ kg} \)
पृथ्वी का द्रव्यमान \( (M_e) = 6 \times 10^{24}\text{ kg} \)
पृथ्वी की त्रिज्या \( (R_E) = 6.4 \times 10^6\text{ m} \)
कक्षा की ऊँचाई \( (h) = 270\text{ km} = 2.7 \times 10^5\text{ m} \)

2. कक्षीय त्रिज्या \( (r) \) की गणना:
पृथ्वी के केंद्र से उपग्रह की कुल दूरी:
\( r = R_E + h = 6.4 \times 10^6\text{ m} + 0.27 \times 10^6\text{ m} = 6.67 \times 10^6\text{ m} \)

3. गतिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग:
एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमण करते हुए उपग्रह की गतिज ऊर्जा निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
\( \text{KE} = \frac{G M_e m}{2r} = \frac{G M_e m}{2(R_E + h)} \)

समीकरण में सही मान रखने पर:
\( \text{KE} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 10^3}{2 \times 6.67 \times 10^6} \)

अंश और हर में से उभयनिष्ठ पद \( 6.67 \) को विभाजित करने पर गणना सरल हो जाती है:
\( \text{KE} = \frac{6 \times 10^{16}}{2 \times 10^6} \)
\( \text{KE} = 3 \times 10^{10}\text{ J} \)

अतः विकल्प C सही उत्तर है।