\(SI\) मात्रकों में एक पदार्थ का घनत्व \(128\, kg m ^{-3}\) है। एक ऐसे मात्रकों में, जिसमें लम्बाई की इकाई \(25\, cm\) तथा द्रव्यमान की इकाई \(50 \,g\) है, इस पदार्थ के घनत्व का आंकिक मान होगा।

स्पष्टीकरण:
किसी भौतिक राशि के संख्यात्मक मान को एक मात्रक पद्धति से दूसरी मात्रक पद्धति में बदलने के लिए विमीय विश्लेषण के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है:
\( n_1 u_1 = n_2 u_2 \)
यहाँ \( n \) संख्यात्मक मान है और \( u \) मात्रक को प्रदर्शित करता है।

1. घनत्व का विमीय सूत्र:
घनत्व का विमीय सूत्र निम्नलिखित होता है:
\( [\text{घनत्व}] = [M^1 L^{-3} T^0] \)

2. रूपांतरण समीकरण स्थापित करना:
विमीय सूत्र की घातों का उपयोग करके, दोनों पद्धतियों के बीच का संबंध इस प्रकार लिखा जाता है:
\( n_2 = n_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right]^1 \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^{-3} \)

3. मानों को प्रतिस्थापित करना:
- SI पद्धति (पद्धति 1):
- \( n_1 = 128 \)
- \( M_1 = 1\text{ kg} = 1000\text{ g} \)
- \( L_1 = 1\text{ m} = 100\text{ cm} \)

- नई पद्धति (पद्धति 2):
- \( M_2 = 50\text{ g} \)
- \( L_2 = 25\text{ cm} \)

इन मानों को रूपांतरण सूत्र में रखने पर:
\( n_2 = 128 \times \left[ \frac{1000\text{ g}}{50\text{ g}} \right]^1 \times \left[ \frac{100\text{ cm}}{25\text{ cm} } \right]^{-3} \)

4. गणना को सरल करना:
- द्रव्यमान का अनुपात: \( \frac{1000}{50} = 20 \)
- लंबाई का अनुपात: \( \frac{100}{25} = 4 \)

अब इन सरल किए गए मानों को समीकरण में आगे हल करने पर:
\( n_2 = 128 \times (20) \times (4)^{-3} \)
\( n_2 = 128 \times 20 \times \frac{1}{64} \)

चूँकि \( \frac{128}{64} = 2 \) होता है:
\( n_2 = 2 \times 20 = 40 \)

अतः, विकल्प A सही उत्तर है।