\(SI\) એકમ પદ્ધતિમાં એક પદાર્થની ઘનતા \(128 \,kg \,m^{-3}\) છે. કોઇ ચોક્કસ એકમ પદ્ધતિ કે જેમાં લંબાઇનો એકમ \(25\, cm\) અને દળનો એકમ \(50\, g\) હોય, તો પદાર્થની ઘનતાનું મૂલ્ય કેટલું હશે?

સ્પષ્ટીકરણ:
કોઈપણ ભૌતિક રાશિના સંખ્યાત્મક મૂલ્યને એક એકમ પદ્ધતિમાંથી બીજી એકમ પદ્ધતિમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પારિમાણિક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
\( n_1 u_1 = n_2 u_2 \)
જ્યાં \( n \) સંખ્યાત્મક મૂલ્ય અને \( u \) એકમ દર્શાવે છે.

1. ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર:
ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
\( [\text{ઘનતા}] = [M^1 L^{-3} T^0] \)

2. રૂપાંતરણ માટેનું મૂળભૂત સમીકરણ:
પારિમાણિક સૂત્રની ઘાતાંકોના આધારે, બંને પદ્ધતિઓ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ બને છે:
\( n_2 = n_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right]^1 \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^{-3} \)

3. આપેલા મૂલ્યો સમીકરણમાં મુકતા:
- SI એકમ પદ્ધતિ (પદ્ધતિ 1):
- \( n_1 = 128 \)
- \( M_1 = 1\text{ kg} = 1000\text{ g} \)
- \( L_1 = 1\text{ m} = 100\text{ cm} \)

- નવી એકમ પદ્ધતિ (પદ્ધતિ 2):
- \( M_2 = 50\text{ g} \)
- \( L_2 = 25\text{ cm} \)

આ કિંમતોને રૂપાંતરણ સૂત્રમાં મુકતા:
\( n_2 = 128 \times \left[ \frac{1000\text{ g}}{50\text{ g}} \right]^1 \times \left[ \frac{100\text{ cm}}{25\text{ cm}} \right]^{-3} \)

4. સાદુંરૂપ આપતાં:
- દળનો ગુણોત્તર: \( \frac{1000}{50} = 20 \)
- લંબાઈનો ગુણોત્તર: \( \frac{100}{25} = 4 \)

હવે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીને સાદુંરૂપ આપતા:
\( n_2 = 128 \times (20) \times (4)^{-3} \)
\( n_2 = 128 \times 20 \times \frac{1}{64} \)

અહીં \( \frac{128}{64} = 2 \) થતું હોવાથી:
\( n_2 = 2 \times 20 = 40 \)

આથી, સાચો જવાબ વિકલ્પ A છે.