सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक \((G)\) की विमाएँ प्लांक नियतांक \((h)\), दूरी \((L)\), द्रव्यमान \((M)\) और समय \((T)\) के पदों में _______ हैं।

सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक \(G\) का विमीय सूत्र न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम \(F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^2}\) से प्राप्त किया जाता है।

\([G] = \dfrac{[F][r^2]}{[m_1 m_2]} = \dfrac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]\)

प्लांक नियतांक \(h\) का विमीय सूत्र एक फोटॉन की ऊर्जा \(E = h\nu\) से प्राप्त किया जाता है।

\([h] = \dfrac{[E]}{[\nu]} = \dfrac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]\)

माना \(G\) की विमाओं को \([G] = [h]^a [L]^b [M]^c [T]^d\) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\([M^{-1}L^3T^{-2}] = [ML^2T^{-1}]^a [L]^b [M]^c [T]^d\)

\([M^{-1}L^3T^{-2}] = [M^{a+c} L^{2a+b} T^{-a+d}]\)

दोनों ओर \(M\), \(L\) और \(T\) की घातों की तुलना करने पर:

\(a + c = -1\)

\(2a + b = 3\)

\(-a + d = -2\)

यह मानते हुए कि \(a = 1\) (दिए गए विकल्पों के अनुसार), हमें प्राप्त होता है:

\(c = -1 - 1 = -2\)

\(b = 3 - 2(1) = 1\)

\(d = -2 + 1 = -1\)

अतः, \(G\) की विमाएँ \([h^1 L^1 M^{-2} T^{-1}]\) हैं, जिसे \([hT^{-1}LM^{-2}]\) के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर: \([hT^{-1}LM^{-2}]\)