સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક \((G)\) ના પારિમાણિક સૂત્રને પ્લાન્કના અચળાંક \((h)\), અંતર \((L)\), દળ \((M)\) અને સમય \((T)\) ના સંદર્ભમાં ________ છે.

સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક \(G\) નું પારિમાણિક સૂત્ર ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ \(F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^2}\) પરથી મેળવી શકાય છે.

\([G] = \dfrac{[F][r^2]}{[m_1 m_2]} = \dfrac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]\)

પ્લાન્કના અચળાંક \(h\) નું પારિમાણિક સૂત્ર ફોટોનની ઊર્જા \(E = h\nu\) પરથી મેળવી શકાય છે.

\([h] = \dfrac{[E]}{[\nu]} = \dfrac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]\)

ધારો કે \(G\) ના પરિમાણોને \([G] = [h]^a [L]^b [M]^c [T]^d\) તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

પરિમાણોની કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:

\([M^{-1}L^3T^{-2}] = [ML^2T^{-1}]^a [L]^b [M]^c [T]^d\)

\([M^{-1}L^3T^{-2}] = [M^{a+c} L^{2a+b} T^{-a+d}]\)

બંને બાજુએ \(M\), \(L\) અને \(T\) ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:

\(a + c = -1\)

\(2a + b = 3\)

\(-a + d = -2\)

\(a = 1\) ધારતા (આપેલા વિકલ્પો અનુસાર), આપણને મળે છે:

\(c = -1 - 1 = -2\)

\(b = 3 - 2(1) = 1\)

\(d = -2 + 1 = -1\)

આથી, \(G\) ના પરિમાણો \([h^1 L^1 M^{-2} T^{-1}]\) છે, જેને \([hT^{-1}LM^{-2}]\) તરીકે લખી શકાય છે.

જવાબ: \([hT^{-1}LM^{-2}]\)