\(R\) प्रतिरोध का एक मिश्रित चालक बनाने के लिए \(l\) लम्बाई एवं \(d\) व्यास वाले आठ ताँबे के तारों को पार्श्व क्रम में जोड़ा जाता है। यदि \(2 l\) लम्बाई वाले किसी अकेले ताँबे के तार का प्रतिरोध \((R)\) समान है, तो इस तार का व्यास \(..........d\) होगा।

कथन\(-I\) : सिलिकन अर्धचालक को पंचसंयोजक पदार्थ से अपमिश्रण करने पर इलेक्ट्रॉन घनत्व बढ़ता हैं । कथन \(-II\) : \(n\)-टाइप अर्ध-चालक पर परिणामी आवेश ॠणात्मक होता है। उपर्युक्त के आलोक में नीचे दिए ये विकल्पों से सही उत्तर चुनिए।

प्रत्येक 10 g द्रव्यमान के दो छोटे गोलीय पिंड, जिन पर आवेश \(-2 \mu \mathrm{C}\) और \(2 \mu \mathrm{C}\) हैं, एक 20 cm लंबी अत्यंत हल्की दृढ़ छड़ के दो सिरों से जुड़े हैं। इस व्यवस्था को अब एक अनंत अचालक आवेशित चादर के पास रखा जाता है जिसका एकसमान आवेश घनत्व \(100 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^2\) है, इस प्रकार कि छड़ की लंबाई आवेशित चादर द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के साथ \(30^{\circ}\) का कोण बनाती है। छड़ पर कार्यरत नेट बल आघूर्ण है:
(लीजिए \(\varepsilon_0: 8.85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^2 / \mathrm{Nm}^2\))

एक सोलर पैनल की सतह पर \(50\, W / m ^{2}\) ऊर्जा घनत्व का सूर्य का प्रकाश अभिलम्बवत् आपतित होता है। आपतित ऊर्जा का कुछ भाग \((25 \, \%)\) सतह से परावर्तित हो जाता है तथा बचा हुआ भाग अवशोषित हो जाता है। सतह के \(1 m ^{2}\) क्षेत्रफल पर लगने वाला बल होगा :\(\left( c =3 \times 10^{8} m / s \right)\)

\(0.07\, H\) की प्रेरक कुंडली और \(12\, \Omega\) के प्रतिरोध को \(220\, V , 50 \,Hz\) वाले प्रत्यावर्ती धारा स्त्रोत से श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है। परिपथ में बहने वाली धारा और धारा एवं स्त्रोत विभव के मध्य कलांतर का मान, क्रमशः होगा। [ \(\pi\) का मान \(\left.\frac{22}{7}\right]\)

किसी मकान के ऊपर बने \(750 \mathrm{~cm}^2\) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले जल टैंक में जल सतह की नल से ऊपर ऊँचाई \(\mathrm{hm}\) है। अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल \(500 \mathrm{~mm}^2\) वाले एक नल से बाहर आने वाले जल की चाल \(30 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\) है। इस क्षण पर \(\frac{d h}{d t}\) का मान \(\mathrm{x} \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) हो तो \(\mathrm{x}\) का मान होगा :-

\(x\)-दिशा में गति करता हुआ एक समान्तर इलेक्ट्रॉन पुंज \(d\) चौड़ाई की झिरी पर आपतित होता है (आरेख देखिये)। यदि इस झिरी से निकलने के पश्चात् इलेक्ट्रॉन, \(y\)-दिशा में, \(p _{y}\) संवेग प्राप्त कर लेते हैं तो, स्लिट से गुजरने वाले अधिकांश इलेक्ट्रॉनों के लिये (यदि \(h\) प्लांक नियतांक है) :

माना \(f: R \rightarrow R c \in R\) पर अवकलनीय है तथा \(f( c )=0\) है। यदि \(g ( x )=|f( x )|\), तो \(x = c\) पर, \(g\)

यदि \(\int \limits_0^{\sqrt{3}} \frac{15 x^3}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}} d x=\alpha \sqrt{2}+\beta \sqrt{3}\) है, जहाँ \(\alpha, \beta\) पूर्णाक है, तो \(\alpha+\beta\) बराबर है \(............\)

यदि \(\cot \alpha=1\) तथा \(\sec \beta=-\frac{5}{3}\) है, जहाँ \(\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}\) तथा \(\frac{\pi}{2}<\beta<\pi\) है, तो \(\tan (\alpha+\beta)\) का मान तथा चतुर्थांश, जिसमें \(\alpha+\beta\) स्थित है, क्रमश: है

माना \(P Q R\) एक त्रिभुज है। भुजाओं \(Q R, R P\) तथा \(P Q\) पर क्रमशः बिन्दु \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) तथा \(\mathrm{C}\) इस प्रकार हैं कि \(\frac{\mathrm{QA}}{\mathrm{AR}}=\frac{\mathrm{RB}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{CQ}}=\frac{1}{2}\) है, तो \(\frac{\text { Area }(\triangle \mathrm{PQR})}{\text { Area }(\triangle \mathrm{ABC})}\) बराबर है

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

\(5 \mathrm{~kg}\) द्रव्यमान का एक लकड़ी का गुटका एक कोमल क्षैतिज फर्श पर रखा है। जब \(25\) \(\mathrm{kg}\) द्रव्यमान का एक लोहे का बेलन इस गुटके के ऊपर रखा जाता है, तो फर्श दब जाता है और गुटका तथा बेलन एक साथ \(0.1 \mathrm{~ms}^{-2}\) के त्वरण से नीचे जाते हैं। निकाय द्वारा फर्श पर लगाया गया क्रिया बल _______ है।