\(R _1\) प्रतिरोध वाले एक तार को खींचकर इसकी लम्बाई में, इसकी वास्तविक लम्बाई के दो गुना के बराबर वृद्धि की जाती है। नए प्रतिरोध का वास्तविक प्रतिरोध से अनुपात है:

स्पष्टीकरण:
आइए भाषा के इस महत्वपूर्ण अंतर को समझते हुए आयतन संरक्षण के सिद्धांत के आधार पर नए प्रतिरोध का अनुपात चरण-दर-चरण ज्ञात करें:

1. वाक्यांश "दो गुना के बराबर वृद्धि" का अर्थ:
भौतिकी के प्रश्नों में शब्दों का विशेष महत्व होता है:
- यदि लंबाई को बढ़ाकर "दो गुना कर दिया जाता", तो अंतिम लंबाई \( 2L_1 \) होती।
- यहाँ लिखा है कि लंबाई में "दो गुना के बराबर वृद्धि की जाती है" (अर्थात लंबाई \( 2L_1 \) बढ़ा दी जाती है)।
अतः तार की अंतिम लंबाई \( L_2 \) होगी:
\( L_2 = L_1 + 2L_1 = 3L_1 \) (अर्थात अंतिम लंबाई प्रारंभिक लंबाई की तीन गुना हो जाएगी)।

2. आयतन का संरक्षण:
तार को खींचने पर उसका कुल आयतन \( V \) अपरिवर्तित रहता है। यदि प्रारंभिक अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल \( A_1 \) तथा अंतिम क्षेत्रफल \( A_2 \) हो, तो:
\( V = L_1 A_1 = L_2 A_2 \)
\( L_1 A_1 = (3L_1) A_2 \implies A_2 = \frac{A_1}{3} \)

3. प्रतिरोध की गणना:
प्रतिरोध का सूत्र \( R = \rho \frac{L}{A} \) होता है। नए प्रतिरोध \( R_2 \) और पुराने प्रतिरोध \( R_1 \) का अनुपात लेने पर:
\( \frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{L_2}{L_1}\right) \times \left(\frac{A_1}{A_2}\right) \)

समीकरण में मान रखने पर:
\( \frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{3L_1}{L_1}\right) \times \left(\frac{A_1}{A_1 / 3}\right) = 3 \times 3 = 9 \)
इस प्रकार, नए प्रतिरोध और वास्तविक प्रतिरोध का अनुपात 9 : 1 प्राप्त होता है।

अतः विकल्प A सही उत्तर है।