सूची-I को सूची-II से सुमेलित कीजिए।

सूची-I	सूची-II
A. \(\sin^2 \omega t\)	I. आवधिक (पीरियोडिक) आवर्तकाल \(T = \dfrac{\pi}{\omega}\) के साथ लेकिन सरल आवर्त गति (SHM) नहीं
B. \(\sin^3(2\omega t)\)	II. आवधिक (पीरियोडिक) आवर्तकाल \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) के साथ लेकिन SHM नहीं
C. \(\sin(\omega t) + \cos(\pi \omega t)\)	III. आवधिक (पीरियोडिक) आवर्तकाल \(T = \dfrac{\pi}{\omega}\) के साथ और SHM
D. \(\cos\omega t + \cos 2\omega t\)	IV. गैर-आवधिक (नॉन-पीरियोडिक)

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें :

A के लिए: \(y = \sin^2 \omega t = \dfrac{1 - \cos 2\omega t}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos 2\omega t\)

यह माध्य स्थिति \(y = \dfrac{1}{2}\) के बारे में \(2\omega\) की कोणीय आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति (SHM) को दर्शाता है। आवर्तकाल \(T = \dfrac{2\pi}{2\omega} = \dfrac{\pi}{\omega}\) है। इस प्रकार, A का मिलान III से होता है।

B के लिए: \(y = \sin^3(2\omega t) = \dfrac{3\sin 2\omega t - \sin 6\omega t}{4}\)

यह \(2\omega\) और \(6\omega\) की कोणीय आवृत्तियों के साथ दो SHM का अध्यारोपण है। यह आवधिक है लेकिन SHM नहीं है। आवर्तकाल \(T_1 = \dfrac{2\pi}{2\omega} = \dfrac{\pi}{\omega}\) और \(T_2 = \dfrac{2\pi}{6\omega} = \dfrac{\pi}{3\omega}\) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो \(T = \dfrac{\pi}{\omega}\) है। इस प्रकार, B का मिलान I से होता है।

C के लिए: \(y = \sin(\omega t) + \cos(\pi \omega t)\)

कोणीय आवृत्तियाँ \(\omega_1 = \omega\) और \(\omega_2 = \pi \omega\) हैं। अनुपात \(\dfrac{\omega_1}{\omega_2} = \dfrac{1}{\pi}\) एक अपरिमेय संख्या है। इसलिए, फलन गैर-आवधिक है। इस प्रकार, C का मिलान IV से होता है।

D के लिए: \(y = \cos \omega t + \cos 2\omega t\)

यह \(\omega\) और \(2\omega\) की कोणीय आवृत्तियों के साथ दो SHM का अध्यारोपण है। यह आवधिक है लेकिन SHM नहीं है। आवर्तकाल \(T_1 = \dfrac{2\pi}{\omega}\) और \(T_2 = \dfrac{2\pi}{2\omega} = \dfrac{\pi}{\omega}\) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) है। इस प्रकार, D का मिलान II से होता है।

सही मिलान A-III, B-I, C-IV, D-II है।

उत्तर: A-III, B-I, C-IV, D-II