किसी समान्तर पट्टिका संधारित्र, जिसकी पट्टिकाओं का क्षेत्रफल ' \(A\) ' तथा पट्टिकाओं के बीच पथकन ' \(d\) ' है में कोई परावैधुत पदार्थ भरा है। इस संधारित्र की धारिता क्या होगी जबकि परावैधुत पदार्थ की विधुतशीलता/ परावैघुतांक में विचरण नीचे दिए अनुसार हो रहा है : \(\varepsilon( x )=\varepsilon_{0}+ kx\), जबकि \(\left(0< x \leq \frac{ d }{2}\right)\) \(\varepsilon( x )=\varepsilon_{0}+ k ( d - x )\), जबकि \(\left(\frac{ d }{2} \leq x \leq d \right)\)

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उत्तर और हल

सही उत्तर

(B) \(\frac{{kA}}{2 \ln \left(\frac{2 \varepsilon_{0}+{kd}}{2 \varepsilon_{0}}\right)}\)

विस्तृत व्याख्या

Taking an element of width \(dx\) at a distance \(x(x < d / 2)\) from left plate

\(dC =\frac{\left(\varepsilon_{0}+ kx \right) A }{ dx }\)

Capacitance of half of the capacitor

\(\frac{1}{C}=\int_{0}^{ d / 2} \frac{1}{ dc }=\frac{1}{ A } \int_{0}^{ d / 2} \frac{ dx }{\varepsilon_{0}+ kx }\)

\(\frac{1}{ C }=\frac{1}{ kA } \ln \left(\frac{\varepsilon_{0}+ kd / 2}{\varepsilon_{0}}\right)\)

Capacitance of second half will be same

\(C _{\text {eq }}=\frac{ C }{2}=\frac{ kA }{2 \ln \left(\frac{2 \varepsilon_{0}+ kd }{2 \varepsilon_{0}}\right)}\)

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