एक विद्युतरोधी तार को इस प्रकार लपेटा गया है कि यह \(N = 200\) फेरों वाली एक समतल कुंडली बनाता है। सबसे भीतरी फेरे की त्रिज्या \(r_1 = 3\) cm है, और सबसे बाहरी फेरे की त्रिज्या \(r_2 = 6\) cm है। यदि इसमें \(20\) mA धारा प्रवाहित होती है, तो चुंबकीय आघूर्ण \(\alpha \times 10^{-2}\) A.m\(^2\) होगा। \(\alpha\) का मान _____ है।

माना प्रति एकांक त्रिज्य चौड़ाई में फेरों की संख्या \(n = \dfrac{N}{r_2 - r_1}\) है।

त्रिज्या \(r\) और चौड़ाई \(dr\) के एक अल्पांश वलय पर विचार करें। इस अल्पांश में फेरों की संख्या \(dN = n \, dr\) है।

इस अल्पांश वलय का चुंबकीय आघूर्ण \(dM = I \, dN \, A = I \left( \dfrac{N}{r_2 - r_1} \, dr \right) (\pi r^2)\) है।

कुल चुंबकीय आघूर्ण \(M\) ज्ञात करने के लिए \(r_1\) से \(r_2\) तक समाकलन करने पर:

\(M = \int_{r_1}^{r_2} \dfrac{I \pi N}{r_2 - r_1} r^2 \, dr = \dfrac{I \pi N}{3(r_2 - r_1)} (r_2^3 - r_1^3)\)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: \(I = 20 \times 10^{-3}\) A, \(N = 200\), \(r_1 = 0.03\) m, और \(r_2 = 0.06\) m:

\(M = \dfrac{20 \times 10^{-3} \times \pi \times 200}{3(0.06 - 0.03)} \left( (0.06)^3 - (0.03)^3 \right)\)

\(M = \dfrac{4\pi}{0.09} (216 \times 10^{-6} - 27 \times 10^{-6})\)

\(M = \dfrac{4\pi}{0.09} \times 189 \times 10^{-6} = 4\pi \times 2100 \times 10^{-6}\)

\(M = 84\pi \times 10^{-4} \approx 84 \times 3.14 \times 10^{-4} = 263.76 \times 10^{-4} \approx 2.64 \times 10^{-2}\) A.m\(^2\)

\(\alpha \times 10^{-2}\) A.m\(^2\) से तुलना करने पर, हमें \(\alpha = 2.64\) प्राप्त होता है।

उत्तर: \(2.64\)