द्रव्यमान \(m\) तथा \(\frac{ m }{2}\) के दो पिंडों को एक लम्बाई \(l\) की द्रव्यमानरहित छड़ के सिरों पर जोड़ा गया है। इस छड़ को एक मरोड़ांक \(k\) के तार से, छड़-द्रव्यमान संयोजन के द्रव्यमान केंद्र से, चित्रानुसार, लटकाया गया है। मरोड़ांक \(k\) के कारण छड़ के कोणीय विस्थापन \(\theta\) से, उस पर बल आघूर्ण \(\tau=k \theta\) लगता है। यदि छड़ को \(\theta_{0}\) कोण से घुमा कर छोड़ देते है तो, इसमें तनाव का मान, जब छड़ अपनी माध्य अवस्था से गुजरती है, होगा।

A \(\frac{{3k\,\theta _0^2}}{l}\)
B \(\frac{{2k\,\theta _0^2}}{l}\)
C \(\frac{{k\,\theta _0^2}}{l}\)
D \(\frac{{k\,\theta _0^2}}{2l}\)

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(C) \(\frac{{k\,\theta _0^2}}{l}\)

Step-by-step Solution

Detailed explanation

\(\omega \)\( = \sqrt {\frac{K}{I}} \,\,\,;\,\,\,\omega = {\theta _0} \times \Omega \) \(T = m{\omega ^2}\frac{\ell }{3}\) \(T = m{\omega ^2}\frac{\ell }{3}{\theta _0}\frac{k}{I}\) where \(\,l = m\frac{{{\ell ^2}}}{3}\) \(\,\,\,\,\, = \frac{{\theta _0^2k}}{\ell }\)

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

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