एक इलेक्ट्रॉन को विराम अवस्था से एक अनंत अचालक शीट के निकट छोड़ा जाता है, जिसका एकसमान आवेश घनत्व ' \(-\sigma\) ' है। इलेक्ट्रॉन से संबद्ध दे-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य के परिवर्तन की दर समय की \(\mathrm{n}\)वीं घात के व्युत्क्रमानुपाती है। \(n\) का संख्यात्मक मान ________ है।

माना किसी समय t पर \(\mathrm{e}^{-}\) का संवेग p है और इसकी दे-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य \(\lambda\) है।
तब, \(\mathrm{p}=\frac{\mathrm{h}}{\lambda}\)
\(\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dt}}=\frac{-\mathrm{h}}{\lambda^2} \frac{\mathrm{~d} \lambda}{\mathrm{dt}} \\
& \mathrm{ma}=\mathrm{F}=-\frac{\mathrm{h}}{\lambda} \frac{\mathrm{~d} \lambda}{\mathrm{dt}} \quad[\mathrm{~m}=\text { mass of e }]
\end{aligned}\)
जहाँ, ऋणात्मक चिह्न समय के साथ \(\lambda\) में कमी को दर्शाता है
\(\mathrm{ma}=\frac{-\mathrm{h}}{(\mathrm{~h} / \mathrm{p})^2} \frac{\mathrm{~d} \lambda}{\mathrm{dt}}\)
\(\begin{aligned}
& \mathrm{a}=-\frac{\mathrm{p}^2}{\mathrm{mh}} \frac{\mathrm{~d} \lambda}{\mathrm{dt}} \\
& \mathrm{a}=-\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{~h}} \frac{\mathrm{~d} \lambda}{\mathrm{dt}} \\
& \frac{\mathrm{~d} \lambda}{\mathrm{dt}}=-\frac{\mathrm{ah}}{\mathrm{mv}^2}...(1)
\end{aligned}\)
यहाँ, \(\mathrm{a}=\frac{\mathrm{qE}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{m}} \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)
\(\mathrm{a}=\frac{\sigma \mathrm{e}}{2 \mathrm{~m} \varepsilon_0}\)
और \(\mathrm{v}=\mathrm{u}+\mathrm{at}\)
\(\mathrm{v}=\mathrm{at}\)
समीकरण (1) में a और v के मान प्रतिस्थापित करने पर
\(\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{dt}}=-\frac{2 \mathrm{~h} \varepsilon_0}{\sigma \mathrm{et}^2} \\
& \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} \lambda}{\mathrm{dt}} \propto \frac{1}{\mathrm{t}^2} \\
& \Rightarrow \mathrm{n}=2
\end{aligned}\)