एक बिंदु आवेश \(q = 1\ \mu\text{C}\), चित्रानुसार \(10\text{ cm}\) लंबाई वाले एक पतले कुचालक तार के एक सिरे से \(2\text{ cm}\) की दूरी पर स्थित है। इस तार पर \(Q = 24\ \mu\text{C}\) का आवेश समान रूप से वितरित है। \(q\) और तार के बीच लगने वाला बल _______ N है।
(उपयोग करें: \(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\))

स्पष्टीकरण:
आइए समाकलन (calculus) का उपयोग करके बिंदु आवेश और समान रूप से आवेशित तार के बीच स्थिरविद्युत बल की चरण-दर-चरण गणना करें:

1. दिए गए मानों को SI मात्रक में बदलें:
- बिंदु आवेश, \(q = 1\ \mu\text{C} = 10^{-6}\text{ C}\)
- तार पर कुल आवेश, \(Q = 24\ \mu\text{C} = 24 \times 10^{-6}\text{ C}\)
- तार की लंबाई, \(L = 10\text{ cm} = 10 \times 10^{-2}\text{ m} = 10^{-1}\text{ m}\) (यहीं से हर में \(10^{-1}\) आया है)
- निकटतम सिरे से दूरी = \(2\text{ cm} = 2 \times 10^{-2}\text{ m}\)
- दूर वाले सिरे से दूरी = \(2\text{ cm} + 10\text{ cm} = 12\text{ cm} = 12 \times 10^{-2}\text{ m}\)

2. रैखिक आवेश घनत्व (\(\lambda\)) ज्ञात करना:
तार की प्रति इकाई लंबाई पर आवेश का मान:
\(\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{24 \times 10^{-6}}{10^{-1}}\text{ C/m}\)

3. सूत्र और समाकलन:
बिंदु आवेश से \(x\) दूरी पर तार के एक छोटे से हिस्से \(dx\) पर विचार करें जिसका सूक्ष्म आवेश \(dq = \lambda dx\) है। कूलॉम के नियम से इनके बीच बल:
\(dF = \frac{k \cdot q \cdot \lambda \cdot dx}{x^2}\)

निकटतम सिरे से लेकर अधिकतम दूरी तक समाकलन करने पर:
\(F = k \cdot q \cdot \lambda \left[ -\frac{1}{x} \right]_{2 \times 10^{-2}}^{12 \times 10^{-2}}\)
\(F = k \cdot q \cdot \lambda \left( \frac{1}{2 \times 10^{-2}} - \frac{1}{12 \times 10^{-2}} \right) = k \cdot q \cdot \lambda \cdot \left( \frac{5}{12 \times 10^{-2}} \right)\)

4. मान रखने पर:
\(F = (9 \times 10^9) \times (10^{-6}) \times \left( \frac{24 \times 10^{-6}}{10^{-1}} \right) \times \left( \frac{5}{12} \right) \times 10^2\)
\(F = 9 \times 24 \times \frac{5}{12} = 90\text{ N}\)

अतः विकल्प B सही उत्तर है।