एक धातु की पट्टी जिसका रैखिक प्रसार गुणांक \(\alpha\) है, का तापमान \(T_1\) से \(T_2\) तक बढ़ाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप उसकी लंबाई में \(\Delta L_1\) की वृद्धि होती है। तापमान को \(T_2\) से \(T_3\) तक और बढ़ाया जाता है, जिससे उसकी लंबाई में \(\Delta L_2\) की वृद्धि होती है। दिया गया है \(T_3+T_1=2T_2\) और \(T_2-T_1=\Delta T\), तो \(\Delta L_2\) का मान ______ है।

मान लीजिए \(T_1\) तापमान पर धातु की पट्टी की लंबाई \(L_1\) है।

जब तापमान को \(T_1\) से \(T_2\) तक बढ़ाया जाता है, तो नई लंबाई \(L_2\) इस प्रकार दी जाती है:

\(L_2 = L_1(1 + \alpha \Delta T)\)

जहाँ \(\Delta T = T_2 - T_1\) है।

लंबाई में वृद्धि है:

\(\Delta L_1 = L_2 - L_1 = L_1 \alpha \Delta T\)

जब तापमान को \(T_2\) से \(T_3\) तक और बढ़ाया जाता है, तो नई लंबाई \(L_3\) है:

\(L_3 = L_2(1 + \alpha \Delta T')\)

जहाँ \(\Delta T' = T_3 - T_2\) है।

दिया गया है \(T_3 + T_1 = 2T_2\), तो हमारे पास \(T_3 - T_2 = T_2 - T_1 = \Delta T\) है।

इस प्रकार, \(\Delta T' = \Delta T\) है।

इस दूसरे तापमान परिवर्तन के लिए लंबाई में वृद्धि है:

\(\Delta L_2 = L_3 - L_2 = L_2 \alpha \Delta T\)

\(L_2 = L_1(1 + \alpha \Delta T)\) को \(\Delta L_2\) के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\(\Delta L_2 = L_1(1 + \alpha \Delta T) \alpha \Delta T\)

\(\Delta L_2 = (L_1 \alpha \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)\)

क्योंकि \(\Delta L_1 = L_1 \alpha \Delta T\) है, इसे प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

\(\Delta L_2 = \Delta L_1(1 + \alpha \Delta T)\)

उत्तर: \(\Delta L_1[1+\alpha\Delta T]\)