एक चिकना नत समतल एक ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में समाप्त होता है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। एक छोटा पिंड दर्शाये अनुसार \(h\) ऊँचाई से छोड़ा जाता है। यदि पिंड वृत्त के उच्चतम बिंदु पर समतल पर अपने भार के तीन गुना बल लगाता है, तो ऊँचाई \(h = \alpha R\) है। \(\alpha\) का मान _______ है।

मान लीजिए कि वृत्ताकार लूप के उच्चतम बिंदु पर पिंड का वेग \(v\) है।

उच्चतम बिंदु पर, पिंड पर कार्य करने वाले बल उसका भार \(mg\) (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया \(N\) (नीचे की ओर) हैं। शुद्ध अधोमुखी बल आवश्यक अभिकेन्द्रीय त्वरण प्रदान करता है:

\(N + mg = \dfrac{mv^2}{R}\)

दिया गया है कि पिंड उच्चतम बिंदु पर पथ पर अपने भार के तीन गुना बल लगाता है, हमारे पास \(N = 3mg\) है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\(3mg + mg = \dfrac{mv^2}{R}\)

\(4mg = \dfrac{mv^2}{R} \Rightarrow v^2 = 4gR\)

छोड़ने के बिंदु और लूप के उच्चतम बिंदु (जो नीचे से \(2R\) की ऊँचाई पर है) के बीच यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:

\(mgh = mg(2R) + \dfrac{1}{2}mv^2\)

ऊर्जा समीकरण में \(v^2 = 4gR\) को प्रतिस्थापित करने पर:

\(mgh = 2mgR + \dfrac{1}{2}m(4gR)\)

\(mgh = 2mgR + 2mgR = 4mgR\)

अतः, \(h = 4R\) है।

इसकी तुलना दिए गए संबंध \(h = \alpha R\) से करने पर, हमें \(\alpha = 4\) प्राप्त होता है।

उत्तर: \(4\)