એક લીસો ઢોળાવવાળો સમતલ, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક શિરોલંબ વર્તુળાકાર લૂપમાં સમાપ્ત થાય છે. એક નાનો પદાર્થ દર્શાવ્યા મુજબ \(h\) ઊંચાઈએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. જો પદાર્થ વર્તુળના સૌથી ઊંચા બિંદુએ સમતલ પર તેના વજનના 3 ગણા જેટલું બળ લગાડે તો ઊંચાઈ \(h = \alpha R\) છે. \(\alpha\) નું મૂલ્ય _______ છે.

ધારો કે વર્તુળાકાર લૂપના સૌથી ઊંચા બિંદુએ પદાર્થનો વેગ \(v\) છે.

સૌથી ઊંચા બિંદુએ, પદાર્થ પર લાગતા બળો તેનું વજન \(mg\) (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ \(N\) (નીચેની તરફ) છે. પરિણામી નીચેની તરફનું બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે:

\(N + mg = \dfrac{mv^2}{R}\)

આપેલ છે કે પદાર્થ વર્તુળના સૌથી ઊંચા બિંદુએ ટ્રૅક પર તેના વજનના 3 ગણા જેટલું બળ લગાડે છે, તેથી આપણી પાસે \(N = 3mg\) છે. આને સમીકરણમાં મૂકતા:

\(3mg + mg = \dfrac{mv^2}{R}\)

\(4mg = \dfrac{mv^2}{R} \Rightarrow v^2 = 4gR\)

મુક્ત કરવાના બિંદુ અને લૂપના સૌથી ઊંચા બિંદુ (જે તળિયેથી \(2R\) ઊંચાઈએ છે) વચ્ચે યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત લાગુ પાડતા:

\(mgh = mg(2R) + \dfrac{1}{2}mv^2\)

\(v^2 = 4gR\) ને ઊર્જા સમીકરણમાં મૂકતા:

\(mgh = 2mgR + \dfrac{1}{2}m(4gR)\)

\(mgh = 2mgR + 2mgR = 4mgR\)

આથી, \(h = 4R\).

આની સરખામણી આપેલ સંબંધ \(h = \alpha R\) સાથે કરતા, આપણને \(\alpha = 4\) મળે છે.

જવાબ: \(4\)