एक धारावाही वृत्ताकार लूप जिसकी त्रिज्या \(2\) cm है और इकाई अभिलंब \(\hat{n} = \dfrac{\hat{k}+\hat{i}}{\sqrt{2}}\) के साथ, एक चुंबकीय क्षेत्र \(\vec{B} = B_0(3\hat{i}+2\hat{k})\) में रखा गया है। यदि \(B_0 = 4\times 10^{-3}\) T और धारा \(I=100\sqrt{2}\) A है, तो लूप द्वारा अनुभव किया गया बल आघूर्ण ________ Wb·A है। (\(\pi=3.14\))

व्याख्या:
1. चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण (\( \vec{M} \)): किसी धारावाही लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
\( \vec{M} = I \cdot A \cdot \hat{n} \)

2. वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल (\( A \)):
दी गई त्रिज्या, \( r = 2\text{ cm} = 2 \times 10^{-2}\text{ m} \)
\( A = \pi r^2 = \pi \left(2 \times 10^{-2}\text{ m}\right)^2 = 4\pi \times 10^{-4}\text{ m}^2 \)

3. \( \vec{M} \) की गणना:
\( I = 100\sqrt{2}\text{ A} \) और \( \hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} \) का मान रखने पर:
\( \vec{M} = \left(100\sqrt{2}\right) \times \left(4\pi \times 10^{-4}\right) \times \left(\frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}\right) \)
\( \vec{M} = 4\pi \times 10^{-2}(\hat{i} + \hat{k})\text{ A}\cdot\text{m}^2 \)

4. बलआघूर्ण (\( \vec{\tau} \)): एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाला बलआघूर्ण है:
\( \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} \)
दिया गया है, \( \vec{B} = 4 \times 10^{-3}(3\hat{i} + 2\hat{k})\text{ T} \)

मान रखने पर:
\( \vec{\tau} = \left[4\pi \times 10^{-2}(\hat{i} + \hat{k})\right] \times \left[4 \times 10^{-3}(3\hat{i} + 2\hat{k})\right] \)
\( \vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} \left[ (\hat{i} + \hat{k}) \times (3\hat{i} + 2\hat{k}) \right] \)

5. सदिश गुणनफल (Cross Product) का मूल्यांकन:
सदिश गुणनफल के नियमों (\( \hat{i}\times\hat{i}=0 \), \( \hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j} \), \( \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j} \), \( \hat{k}\times\hat{k}=0 \)) का उपयोग करने पर:
\( (\hat{i} + \hat{k}) \times (3\hat{i} + 2\hat{k}) = 2(\hat{i} \times \hat{k}) + 3(\hat{k} \times \hat{i}) = -2\hat{j} + 3\hat{j} = \hat{j} \)

इसलिए:
\( \vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5}\hat{j} \)

6. \( \pi = 3.14 \) रखने पर:
\( \vec{\tau} = 16 \times 3.14 \times 10^{-5}\hat{j} = 50.24 \times 10^{-5}\hat{j} = 5024 \times 10^{-7}\hat{j}\text{ Wb}\cdot\text{A} \)

अतः, विकल्प D सही उत्तर है।