\(2\) cm ત્રિજ્યાવાળું અને એકમ લંબ સદિશ \(\hat{n} = \dfrac{\hat{k}+\hat{i}}{\sqrt{2}}\) ધરાવતું એક વિદ્યુતપ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર ગૂંચળું, ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\vec{B} = B_0(3\hat{i}+2\hat{k})\) માં મૂકેલું છે. જો \(B_0 = 4\times 10^{-3}\) T અને પ્રવાહ \(I=100\sqrt{2}\) A હોય, તો ગૂંચળા વડે અનુભવાતું ટોર્ક ________ Wb·A છે. (\(\pi=3.14\))

સ્પષ્ટીકરણ:
1. ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય ચાકમાત્રા (\( \vec{M} \)): વિદ્યુતપ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય ચાકમાત્રા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
\( \vec{M} = I \cdot A \cdot \hat{n} \)

2. વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ (\( A \)):
આપેલ ત્રિજ્યા, \( r = 2\text{ cm} = 2 \times 10^{-2}\text{ m} \)
\( A = \pi r^2 = \pi \left(2 \times 10^{-2}\text{ m}\right)^2 = 4\pi \times 10^{-4}\text{ m}^2 \)

3. \( \vec{M} \) ની ગણતરી:
\( I = 100\sqrt{2}\text{ A} \) and \( \hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} \) ની કિંમતો મૂકતા:
\( \vec{M} = \left(100\sqrt{2}\right) \times \left(4\pi \times 10^{-4}\right) \times \left(\frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}\right) \)
\( \vec{M} = 4\pi \times 10^{-2}(\hat{i} + \hat{k})\text{ A}\cdot\text{m}^2 \)

4. ટોર્ક (\( \vec{\tau} \)): સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ પર લાગતું ટોર્ક નીચે મુજબ છે:
\( \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} \)
અહીં આપેલ છે, \( \vec{B} = 4 \times 10^{-3}(3\hat{i} + 2\hat{k})\text{ T} \)

કિંમતો મૂકતા:
\( \vec{\tau} = \left[4\pi \times 10^{-2}(\hat{i} + \hat{k})\right] \times \left[4 \times 10^{-3}(3\hat{i} + 2\hat{k})\right] \)
\( \vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} \left[ (\hat{i} + \hat{k}) \times (3\hat{i} + 2\hat{k}) \right] \)

5. સદિશ ગુણાકાર (Cross Product) ની ગણતરી:
સદિશ ગુણાકારના નિયમો (\( \hat{i}\times\hat{i}=0 \), \( \hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j} \), \( \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j} \), \( \hat{k}\times\hat{k}=0 \)) નો ઉપયોગ કરતાં:
\( (\hat{i} + \hat{k}) \times (3\hat{i} + 2\hat{k}) = 2(\hat{i} \times \hat{k}) + 3(\hat{k} \times \hat{i}) = -2\hat{j} + 3\hat{j} = \hat{j} \)

તેથી:
\( \vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5}\hat{j} \)

6. \( \pi = 3.14 \) મૂકતા:
\( \vec{\tau} = 16 \times 3.14 \times 10^{-5}\hat{j} = 50.24 \times 10^{-5}\hat{j} = 5024 \times 10^{-7}\hat{j}\text{ Wb}\cdot\text{A} \)

આથી, સાચો જવાબ વિકલ્પ D છે.